聯招數學·多三角形拼接測量與觀測角誤差的導數分析

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

這類題分兩層：第一層是解三角形——一條可量基線 AB、兩個可測角，用正弦定理求不可到達點 C 到端點的距離；第二層是誤差分析——把 AC 看成某個觀測角 β 的函數，求導看 AC 對 β 有多敏感，從而回答「角量歪一點，距離會差多少」。

兩條紀律先立住：① 三角形內角和給出 ∠C = 180° − ∠A − ∠B，別把 ∠C 當常量；② 求導時角度必須用弧度，題目給的 0.5° 要化成 0.5×π/180 rad 才能代進導數。下面基線與角度均為自編示意數據。

二、逐題精講

題1

題1 正弦定理求不可達距離

自編示意測量：為測河對岸不可到達點 C 到基線端點 A 的距離，在岸上量得基線 AB = 100 m，測得 ∠CAB = 60°、∠CBA = 45°（A、B、C 三點不共線，C 與基線構成單個三角形）。
(1) 求 ∠ACB；(2) 用正弦定理求 AC，並化為最簡根式；(3) 用數值驗算。

解析

(2) 由正弦定理 AC/sin∠CBA = AB/sin∠ACB，故

AC = AB·sin45°/sin75° = 100 × (√2/2) / [(√6+√2)/4] = 200√2/(√6+√2)。

分母有理化：200√2(√6−√2)/[(√6+√2)(√6−√2)] = 200√2(√6−√2)/(6−2) = 50√2(√6−√2) = 50(√12 − 2) = 50(2√3 − 2) = 100(√3 − 1) m。

(3) 數值驗算：√3 ≈ 1.7320508，√3 − 1 ≈ 0.7320508，AC ≈ 73.205 m。直接代原式核對：sin45° ≈ 0.7071068，sin75° ≈ 0.9659258，100 × 0.7071068/0.9659258 ≈ 73.205 m ✓ 兩條路一致。再驗正弦定理另一組：BC = AB·sin60°/sin75° = 100×0.8660254/0.9659258 ≈ 89.657 m；用餘弦定理複核 AC：AC² = AB² + BC² − 2·AB·BC·cos45° ≈ 10000 + 8038.4 − 2×100×89.657×0.7071068 ≈ 18038.4 − 12679.4 = 5359.0，√5359.0 ≈ 73.205 ✓ 三路一致。

答案　(1) 75°；(2) AC = 100(√3 − 1) m；(3) ≈ 73.205 m，原式與餘弦定理複核一致。

採分點　內角和 1 分；正弦定理列式 2 分；分母有理化與最簡根式 3 分；數值驗算 2 分（含餘弦定理複核 1 分）。

易錯點　把 ∠ACB 寫成 180−60−45 卻算成 65° 的算術錯；正弦定理把對應邊配錯（寫成 AC/sin60°）；sin75° 展開錯（應為 (√6+√2)/4）；有理化漏掉分母 4；結果不帶單位 m。

題2

題2 觀測角誤差敏感度

承題1，設 ∠A = 60° 固定，∠B = β 可測但存在誤差，∠C = 120° − β。
(1) 把 AC 寫成 β 的函數並求導，化簡 AC′(β)；(2) 在 β = 45° 處求 AC′ 的數值；(3) 若測角誤差 Δβ = 0.5°，估算由此帶來的距離偏差，並用有限差分互驗；(4) 給出選點與觀測建議。

解析

AC(β) = AB·sin β / sin(120° − β)。

用商法則，注意分母對 β 求導時帶出 −cos(120°−β)：

AC′(β) = AB·[cos β·sin(120°−β) + sin β·cos(120°−β)] / sin²(120°−β)。

分子用正弦和角公式 sin[β + (120°−β)] = sin120°，故化簡為

AC′(β) = AB·sin120° / sin²(120° − β) = AB·(√3/2) / sin²(120° − β)。這個結果很乾淨：分子與 β 無關，敏感度全由分母 sin²∠C 決定。

(2) β = 45° 時 ∠C = 75°，sin75° ≈ 0.9659258，sin²75° ≈ 0.9330127；AB·sin120° = 100 × 0.8660254 = 86.60254。故

AC′(45°) = 86.60254 / 0.9330127 ≈ 92.82 m/rad。

(3) Δβ = 0.5° = 0.5 × π/180 ≈ 0.0087266 rad，故 |ΔAC| ≈ |AC′|·Δβ ≈ 92.82 × 0.0087266 ≈ 0.810 m。

有限差分互驗：β = 45.5° 時 ∠C = 74.5°，AC = 100·sin45.5°/sin74.5° ≈ 100 × 0.7132504/0.9636305 ≈ 74.018 m；與 β = 45° 的 73.205 m 相差約 0.813 m，與線性估計 0.810 m 相差不到 0.4% ✓。（必須化弧度：若把 0.5 直接當弧度代入，會算出 46 m 的荒謬結果。）

(4) 建議：由 AC′(β) = AB·sin120°/sin²∠C 可見，∠C 越小（sin∠C 越小），誤差放大越厲害；當 ∠C → 90° 時 sin²∠C = 1，敏感度取最小 86.60 m/rad。因此選基線時應讓交會角 ∠C 接近直角，避免三角形過於扁平（兩觀測角之和接近 180° 或 ∠C 很小）；同時可提高測角精度、增加一條獨立基線取平均、或增加第三個觀測點構成多餘觀測以平差。另注意基線 AB 越長，AC 與其誤差同比例放大，故長基線要配更高精度的測角。

答案　(1) AC(β)=100 sinβ/sin(120°−β)，AC′(β)=100·(√3/2)/sin²(120°−β)；(2) ≈ 92.82 m/rad；(3) 0.5° 帶來約 0.810 m，有限差分 0.813 m ✓；(4) 使 ∠C 接近 90°、避免扁平三角形，提高測角精度、多基線平差。

採分點　函數式 2 分；商法則求導 2 分；和角公式化簡 2 分；AC′ 數值 1 分；弧度換算 1 分；誤差估算 1 分；有限差分互驗 2 分；建議 2 分（含 ∠C 接近直角 1 分）。

易錯點　把 ∠C 寫成 120°−β 卻漏掉「∠A 固定」的前提；商法則漏掉分母求導產生的負號，導致分子變成差而非和；不化簡成 sin120° 就硬代數值；把 0.5° 直接當 0.5 rad（最常見，結果放大 57 倍）；忘記有限差分互驗；建議只寫「多測幾次」不落到交會角與 sin²∠C。

三、規律小結與對照表

這題把解三角形和導數接在了一起，而且接得很自然：正弦定理給出函數，求導給出敏感度，和角公式把結果壓成一行。最該記住的是兩個單位紀律——∠C 隨 β 變、角度誤差必須化弧度；再補一句「∠C 接近直角時最不敏感」，就有工程味了。本題基線、角度與誤差均為原創自編示意數據，根式化簡、導數值、有限差分三路已逐項回代互驗。

四、自測清單

• 先由內角和寫出 ∠C 關於 β 的表達式，別把 ∠C 當常量
• 商法則求導後檢查分母求導的負號，分子應是「和」不是「差」
• 用 sin[β+(120°−β)]=sin120° 化簡，別硬代數值
• 角度誤差一律乘 π/180 化弧度再代入導數
• 用 β=45.5° 的有限差分回驗線性估計
• 結論落到 sin²∠C：∠C 越接近 90° 誤差放大越小