聯招數學·用導數證明數列不等式：構造、代入與累加放縮

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

這類題的結構幾乎固定，認清了就不難：① 用導數證一個對一切 x>0 成立的函數不等式；② 令 x 取 1/k（或 1/k² 等），把函數不等式變成關於 k 的項級不等式；③ 對 k = 1 到 N 累加，讓右邊裂項相消或湊成對數 telescoping；④ 取一個小 N 驗算方向。

兩條基礎不等式先記牢（x > 0）：ln(1+x) < x 與 −ln(1−x) > x（0 < x < 1）。二者都是「對數曲線在切線下方／上方」的體現，都能用一個構造函數加一次求導證出來，不需要背結論。

二、逐題精講

題1

題1 下界：ln(N+1) < 1 + 1/2 + … + 1/N

(1) 用導數證明：對 x > 0，有 ln(1+x) < x；(2) 由此證明對任意正整數 N，ln(N+1) < Σ_k=1^N 1/k；(3) 取 N = 3 驗算。

解析

φ′(x) = 1 − 1/(1+x) = x/(1+x)。

當 x > 0 時 φ′(x) > 0，故 φ 在 (0, +∞) 上嚴格遞增；又 φ(0) = 0 − ln1 = 0，所以 x > 0 時 φ(x) > φ(0) = 0，即 x − ln(1+x) > 0，得 ln(1+x) < x（嚴格小於，x = 0 時取等）。

(2) 令 x = 1/k（k 為正整數，滿足 x > 0），代入得

ln(1 + 1/k) = ln[(k+1)/k] = ln(k+1) − ln k < 1/k。

對 k = 1, 2, …, N 累加，左邊是對數裂項：

Σ_k=1^N [ln(k+1) − ln k] = ln(N+1) − ln1 = ln(N+1)。

故 ln(N+1) < Σ_k=1^N 1/k，即 ln(N+1) < 1 + 1/2 + … + 1/N。

(3) 取 N = 3 驗算：左 ln4 = 2ln2 ≈ 1.3863；右 1 + 1/2 + 1/3 = 11/6 ≈ 1.8333。1.3863 < 1.8333 ✓ 方向正確。再看單項：k = 1 時 ln2 ≈ 0.6931 < 1 ✓；k = 2 時 ln(3/2) ≈ 0.4055 < 0.5 ✓；k = 3 時 ln(4/3) ≈ 0.2877 < 0.3333 ✓，三項累加與總結論一致。

答案　(1) φ(x)=x−ln(1+x)，φ′=x/(1+x)>0、φ(0)=0 ⇒ ln(1+x)<x；(2) 令 x=1/k 得 ln(k+1)−ln k<1/k，累加裂項得 ln(N+1)<Σ1/k；(3) N=3：1.3863<1.8333 ✓。

採分點　構造函數 1 分、求導 2 分、由 φ(0)=0 與單調性得結論 2 分；代入 x=1/k 並寫成 ln(k+1)−ln k 2 分；累加裂項 2 分；特例驗算 1 分。

易錯點　構造 φ(x)=ln(1+x)−x 後把單調性結論說反；忘記用 φ(0)=0 定符號，直接由 φ′>0 斷言 φ>0；把 ln(1+1/k) 寫成 ln(1/k)；累加時不做對數裂項，寫成 Σln(k+1) − Σln k 卻不相消；忽略 x>0 的定義域。

題2

題2 上界與雙邊估計

(1) 用導數證明：對 0 < t < 1，有 −ln(1−t) > t；(2) 由此證明對 N ≥ 2，Σ_k=2^N 1/k < ln N，從而 Σ_k=1^N 1/k < 1 + ln N；(3) 合併題1、題2 寫出雙邊估計，並取 N = 3 驗算。

解析

ψ′(t) = 1/(1−t) − 1 = t/(1−t) > 0，故 ψ 在 (0,1) 上嚴格遞增；ψ(0) = 0，所以 t > 0 時 ψ(t) > 0，即 −ln(1−t) > t。

(2) 對 k ≥ 2 取 t = 1/k ∈ (0,1)，代入得 −ln(1 − 1/k) = −ln[(k−1)/k] = ln[k/(k−1)] = ln k − ln(k−1) > 1/k，即 1/k < ln k − ln(k−1)。

對 k = 2, 3, …, N 累加，右邊裂項：

Σ_k=2^N [ln k − ln(k−1)] = ln N − ln1 = ln N。

故 Σ_k=2^N 1/k < ln N；兩邊同加首項 1（k = 1 項不參與該放縮），得 Σ_k=1^N 1/k < 1 + ln N（N ≥ 2）。

(3) 雙邊估計：合併題1 與題2，對 N ≥ 2 有

ln(N+1) < 1 + 1/2 + … + 1/N < 1 + ln N。

取 N = 3 驗算：左 ln4 ≈ 1.3863，中 11/6 ≈ 1.8333，右 1 + ln3 ≈ 1 + 1.0986 = 2.0986，滿足 1.3863 < 1.8333 < 2.0986 ✓。單項驗：k = 2 時 1/2 = 0.5 < ln2 ≈ 0.6931 ✓；k = 3 時 1/3 ≈ 0.3333 < ln(3/2) ≈ 0.4055 ✓。

方法小結：兩條放縮都來自「先證函數不等式 → 代入 1/k → 累加讓對數裂項」，方向相反是因為一個用 ln(1+x) < x、另一個用 −ln(1−x) > x。注意題2 的放縮不能用於 k = 1（t = 1 使 ln(1−t) 無定義），必須把首項 1 單獨留出來，這是最常漏的一步。

答案　(1) ψ(t)=−ln(1−t)−t，ψ′=t/(1−t)>0、ψ(0)=0 ⇒ −ln(1−t)>t；(2) 令 t=1/k 得 1/k<ln k−ln(k−1)，k=2..N 累加裂項得 ln N，故 H_N<1+ln N；(3) ln(N+1)<H_N<1+ln N，N=3 驗 1.3863<1.8333<2.0986 ✓。

採分點　構造函數與求導 2 分；代入 t=1/k 並寫出 ln k−ln(k−1) 2 分；累加裂項 2 分；首項單獨留出的說明 2 分；雙邊估計 1 分；特例驗算 1 分。

易錯點　把 ψ 構造反了導致方向寫反；對 k=1 也代入 t=1/k（ln0 無定義）；累加後忘記補首項 1，寫成 H_N<ln N；把 ln k − ln(k−1) 寫成 ln(k−1) − ln k（符號反）；合併時把上下界位置寫顛倒。

三、規律小結與對照表

這類壓軸題看著唬人，其實只有三下：構造函數求導、代 x=1/k、累加讓對數裂項。兩個最容易翻車的地方也固定——別忘基準點 φ(0)=0 定符號，別把上界放縮用到 k=1。本題條件與數值均為原創自編仿真題，兩條函數不等式、累加結果與 N=3 驗算已逐項回代互驗。

四、自測清單

• 先寫要證的函數不等式並構造函數，求導後一定要用零點值定符號
• 代入 x=1/k 後把對數寫成 ln(k+1)−ln k 或 ln k−ln(k−1) 的裂項形
• 上界放縮註明 k≥2，首項 1 單獨留出
• 累加範圍寫清（k=1..N 還是 k=2..N），末尾不要漏項
• 合併雙邊估計後取 N=3 之類的小值驗方向
• 檢查所有對數的真數為正，別出現 ln0 或 ln 負數