題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
兩個考點常被混在一起考，但工具不同。分界點可導性只有一個判據：f′₋(x₀) = f′₊(x₀) 且都存在；用定義算 lim_{h→0⁻} [f(x₀+h)−f(x₀)]/h 與 lim_{h→0⁺} …，不能把兩段各自求導後直接把 x₀ 代進去（那是求「導函數的極限」，不等價於該點導數）。
|g(x)| = a 的根數只有一條路：先畫 y = |g(x)| 的圖像——把 g(x) < 0 的那一段關於 x 軸翻上去，再用水平線 y = a 去數交點；臨界值（a = 0、a = 局部峰值）必須單獨驗，最易漏。
二、逐題精講
題1
題1 分界點的連續性與可導性
設 f(x) = { x², x ≥ 0；x, x < 0 }。
(1) 判斷 f(x) 在 x = 0 處是否連續；(2) 判斷在 x = 0 處是否可導，並說明理由；(3) 說明「連續」與「可導」的關係。
解析
(1) 連續。f(0) = 0² = 0；左極限 limx→0⁻ f(x) = lim x = 0；右極限 limx→0⁺ f(x) = lim x² = 0。三者相等，故 f 在 x = 0 處連續。(2) 不可導。按定義分別算單側導數：
右導數：f′₊(0) = limh→0⁺ [f(0+h) − f(0)]/h = limh→0⁺ h²/h = limh→0⁺ h = 0。
左導數：f′₋(0) = limh→0⁻ [f(0+h) − f(0)]/h = limh→0⁻ h/h = 1。
0 ≠ 1，左右導數不相等，故 f 在 x = 0 處不可導。（圖像上就是左側直線斜率 1 與右側拋物線在原點切線斜率 0 形成一個「折角」。）
常見錯法辨析：若直接寫「x≥0 時 f′=2x，故 f′(0)=0；x<0 時 f′=1」，這只是兩段的導函數表達式在 0 附近的值，並不能替代分界點的導數定義——本題右側恰好是 0 會掩蓋錯誤，把右段換成 2x（右導數 2、左導數 1）時兩種做法仍會給出不同判斷，可見必須用定義。
(3) 關係。可導 ⇒ 連續，連續 ⇏ 可導。本題即為反例：f 在 0 處連續但不可導。典型反例還有 y = |x| 在原點。反向不成立的原因是可導要求左、右「變化率」也一致，比連續（只要求函數值接得上）更強。
答案 (1) 連續；(2) 不可導（右導數 0、左導數 1，不等）；(3) 可導必連續，連續未必可導。
採分點 (1) 三個量各 1 分；(2) 左右導數定義式各 2 分、結論 1 分；(3) 關係 1 分、舉出本題或 |x| 為反例 1 分；指出「代導函數」的錯法 1 分。
易錯點 把兩段分別求導再代 x=0，誤判可導；只算右導數就下結論；把 f′₋ 寫成 −1（把 h→0⁻ 時 h/h 誤算成 −1，其實恆為 1）；把關係寫成「連續⇒可導」。
題2
題2 |x² − 2x| = a 的根數分類
討論關於 x 的方程 |x² − 2x| = a 的實根個數（a ∈ R）。
解析
第一步 畫圖像。令 u(x) = x² − 2x = x(x − 2)，開口向上、零點 0 與 2、頂點 (1, −1)，在 (0, 2) 內 u < 0。取絕對值後，這一段關於 x 軸翻上去，頂點變成 (1, 1)。故 g(x) = |u(x)| ≥ 0，圖像呈 W 形：在 (−∞,0] 遞減到 0，在 [0,1] 遞增到 1，在 [1,2] 遞減到 0，在 [2,+∞) 遞增到 +∞。第二步 水平線 y = a 數交點，按五個區間分類：
① a < 0：g(x) ≥ 0，水平線在 x 軸下方，0 個根。
② a = 0：g(x) = 0 ⇔ x(x−2) = 0，得 x = 0、2，2 個根。
③ 0 < a < 1：由 u = a（x²−2x−a=0，Δ = 4+4a > 0，2 根）與 u = −a（x²−2x+a=0，Δ = 4−4a > 0，2 根），共 4 個根。
④ a = 1：u = 1 給 x = 1 ± √2（2 根）；u = −1 給 x²−2x+1 = 0，即 (x−1)² = 0，只有 x = 1（重根，計 1 個）。共 3 個根。
⑤ a > 1：u = a 給 2 根（Δ = 4+4a > 0）；u = −a 給 x²−2x+a = 0，Δ = 4−4a < 0，無實根。共 2 個根。
第三步 臨界驗算。a = 1 時中間那段翻折的峰值恰好與水平線相切於 x = 1，是 4 根變 2 根的過渡，必須單列；a = 0 時兩處谷底各一個根，也不是 4 根。把 0 < a < 1 取 a = 0.5 驗：u = 0.5 → x = 1 ± √1.5（2 根），u = −0.5 → x = 1 ± √0.5（2 根），合計 4 ✓；取 a = 2 驗：u = 2 → x = 1 ± √3（2 根），u = −2 無解，合計 2 ✓。
答案 a<0：0 個；a=0：2 個；0<a<1：4 個；a=1：3 個；a>1：2 個。
採分點 畫出 W 形圖像並指出翻折後峰值 (1,1) 2 分；五個區間各自結論 5×1 分；用判別式或圖像說明依據 2 分；a=1 的重根臨界說明 2 分；取特例驗算 1 分。
易錯點 把 |u| 圖像畫成「整條拋物線上移」或只翻折一半，漏掉 (1,1) 這個局部峰值；漏掉 a=1 的 3 根臨界情形，直接寫 0/2/4/2；把 a<0 答成 2 根（忽略絕對值非負）；判別式 Δ = 4−4a 的符號寫反；把重根計成 2 個。
三、規律小結與對照表
| 考點 | 判據／圖像 | 本題結論 |
|---|---|---|
| 分界點連續 | f(x₀)=左極限=右極限 | 0 = 0 = 0，連續 |
| 分界點可導 | 左導數 = 右導數 | 1 ≠ 0，不可導 |
| 兩者關係 | 可導 ⇒ 連續；連續 ⇏ 可導 | 本題即反例 |
| |g(x)| 圖像 | g<0 段關於 x 軸翻上 | u 頂點 (1,−1) → g 峰值 (1,1)，W 形 |
| 根數分類 | 水平線 y=a 與 W 形交點 | 0 / 2 / 4 / 3 / 2 |
| 必驗臨界 | a=0（谷底）、a=1（峰值相切） | a=1 時重根計 1 個，共 3 個 |
這兩題的共同紀律是「別跳圖、別跳定義」：可導性用左右導數定義算，絕對值根數先把 W 形畫出來再數交點，兩個臨界值各驗一次。少一步，答案就會從 3 根寫成 2 根、從不可導寫成可導。本題函數與參數均為原創自編仿真題，五類根數與左右導數已逐項回代互驗。
四、自測清單
- 分界點處一律用導數定義算左右導數，不代分段導函數
- 先判連續再判可導，並記住連續不保證可導
- 畫 |g| 圖像時只翻折 g<0 的區間，標出新峰值座標
- 根數分類把 a=0 與 a=局部峰值單列，不併入開區間
- 每類取一個具體 a 值代回方程驗根數
- 重根只計 1 個實根，別按 2 個算
