聯招物理·實驗題：電源輸出功率與效率的最大值條件

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

先把三個功率分清楚：P_總 = EI（電源提供的全部功率）、P_出 = UI = I²R（外電路得到的）、P_內 = I²r（內阻發熱）。效率定義為 η = P_出/P_總 = U/E = R/(R+r)。

關鍵結論一行就夠：P_出 在 R = r 時最大，但此時 η = 50%；R 繼續增大時 η 升高，P_出 反而下降。所以「功率最大」與「最省電」不是一回事，答題時先看清問的是哪一個。下面用自編數據把這條結論算成具體數字。

二、逐題精講

題1

題1 最大輸出功率與此時效率

自編示意數據：電源電動勢 E = 1.50 V，內阻 r = 0.50 Ω，外電路為可調純電阻 R。求：(1) R 取何值時電源輸出功率最大，最大值是多少；(2) 此時的路端電壓、電流與電源效率；(3) 說明為什麼 η 不是 100%。

解析

P_出 = I²R = E²R/(R + r)²。

因 (R + r)² = R² + 2Rr + r² = (R − r)² + 4Rr ≥ 4Rr，故 P_出 = E²R/(R+r)² ≤ E²R/(4Rr) = E²/(4r)，取等條件為 R = r。

代入 E = 1.50 V、r = 0.50 Ω：R = 0.50 Ω，P_出,max = (1.50)²/(4 × 0.50) = 2.25/2.00 = 1.125 W。

(2) 此時 I = E/(R + r) = 1.50/1.00 = 1.50 A；路端電壓 U = IR = 1.50 × 0.50 = 0.75 V（也可用 U = E − Ir = 1.50 − 0.75 = 0.75 V 互驗 ✓）。

η = P_出/P_總 = U/E = 0.75/1.50 = 50.0%，等價於 η = R/(R+r) = 0.50/1.00 = 50.0%。

數值互驗：P_出 = I²R = (1.50)² × 0.50 = 2.25 × 0.50 = 1.125 W ✓；P_總 = EI = 1.50 × 1.50 = 2.25 W；P_內 = I²r = 2.25 × 0.50 = 1.125 W；三者滿足 P_總 = P_出 + P_內 ✓。

(3) R = r 時內阻與外阻分得同樣的電壓、消耗同樣的功率，P_內 = P_出，有一半能量耗在電源內部，故 η 恰為 50%。要使 η 接近 100%，須令 R ≫ r，但那時 I 很小、P_出 也趨近於 0——這正是「效率」與「輸出功率」不可兼得的原因。

答案　(1) R = 0.50 Ω 時最大，P出,max = 1.125 W；(2) I = 1.50 A，U = 0.75 V，η = 50.0%；(3) 內阻與外阻功率相等，一半能量耗於內阻。

採分點　寫出 P出 = E²R/(R+r)² 2 分；用 (R−r)²≥0 推出最大值條件 2 分；數值 1 分；I、U 各 1 分；η 兩種算法之一 1 分；能量分配說明 2 分。

易錯點　把最大功率條件寫成 R = 2r 或 R = r/2；把 P出 寫成 E²/(R+r)（漏 R）；把 η 寫成 r/R；算出 η = 50% 後仍答「效率最高」；漏寫單位 W、A、V。

題2

題2 U–I 數據反推與「省電」取捨

用該電源做實驗，測得兩組數據：I₁ = 0.20 A 時 U₁ = 1.40 V；I₂ = 0.60 A 時 U₂ = 1.20 V。
(1) 由 U = E − Ir 求 E 與 r；(2) 當 R = 2.0 Ω 時，求 I、P_出、η，並與題1 的 R = 0.50 Ω 比較：哪種接法「更省電」，哪種接法「輸出功率更大」？

解析

(2) R = 2.0 Ω：I = E/(R+r) = 1.50/2.50 = 0.600 A；U = IR = 0.600 × 2.0 = 1.20 V（與實驗第二組數據吻合 ✓）；P_出 = I²R = 0.360 × 2.0 = 0.720 W（或 UI = 1.20 × 0.600 = 0.720 W 互驗）；η = R/(R+r) = 2.0/2.5 = 80.0%。

比較：R = 2.0 Ω 時 η = 80% > 50%，更省電（內耗佔比小）；但 P_出 = 0.720 W < 1.125 W，輸出功率更小。結論要分兩問答，不能合併成一句「2.0 Ω 更好」：若目標是用電器獲得最大功率，選 R = r；若目標是減少電源內部損耗、提高能量利用率，選 R ≫ r。

答案　(1) E = 1.50 V，r = 0.50 Ω；(2) R = 2.0 Ω 時 I = 0.600 A，P出 = 0.720 W，η = 80.0%；該接法更省電但輸出功率更小，R = 0.50 Ω 時輸出功率最大。

採分點　聯立方程求 E、r 2 分（含回代驗算 1 分）；R = 2.0 Ω 三項數值各 1 分；兩問分別作答 2 分；效率與功率不可兼得的說明 1 分。

易錯點　兩式相減時把 r 算成 0.20/0.40 = 0.50 Ω 卻寫錯符號（r 應為正的斜率絕對值）；把 η 算成 U/E = 1.20/1.50 = 80% 後忘記與題1 對照；把「更省電」與「功率更大」混為一談，答成單一結論；漏寫單位。

三、規律小結與對照表

把兩條曲線放在一起記就不容易混：P_出 隨 R 先增後減、在 R = r 處見頂；η 隨 R 單調上升、趨近 100% 卻永遠到不了。題目問「最大功率」還是「更省電」，動筆前先圈出來。本組電動勢、內阻與兩組 U–I 數據均為原創自編示意，已按閉合電路歐姆定律與功率守恆逐項回代互驗，不代表真實電源參數。

四、自測清單

• 先寫全三個功率 P總、P出、P內，確認 P總 = P出 + P內
• 推導最大值用 (R+r)² = (R−r)² + 4Rr，別直接套結論不寫依據
• η 用 U/E 或 R/(R+r) 兩個算法互驗
• 兩組 U–I 數據求 E、r 後，代回原數據檢驗
• 結論分「功率」與「效率」兩欄寫，不用一句「更好」籠統作答