題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
半偏法的電路是：電源 E、滑動變阻器（或定值大電阻）R₀、待測電流表 G 串聯；先斷開並聯支路，調 R₀ 使表滿偏 I_g；再閉合 S₂ 接通電阻箱 R，保持 R₀ 不動，調 R 使表半偏 I_g/2；此時近似認為 R = R_g。
問題出在「近似」：並聯 R 之後外電路總電阻變小、幹路總電流變大，所以表半偏時流過 R 的電流其實大於 I_g/2，於是 R < R_g，讀數偏小。要減小誤差，必須讓 R₀ ≫ R_g，使並聯前後幹路電流幾乎不變。下面用一組自編數據把這個「偏小」算成具體數字。
二、逐題精講
題1
題1 半偏法的精確關係與真值反推
自編示意數據：電源電動勢 E = 3.00 V（內阻不計），待測電流表滿偏電流 I_g = 3.00 mA。斷開並聯支路時調 R₀ 使表滿偏；保持 R₀ 不變，閉合 S₂ 接入電阻箱，調到表半偏時電阻箱讀數為 R = 90.0 Ω。求：(1) R₀ 與 R 的精確關係式；(2) 電流表內阻 R_g 的真實值；(3) 說明若直接取 R 作 R_g，相對誤差是多少、偏大還是偏小。
解析
(1) 推精確關係。滿偏時 E = I_g (R₀ + R_g)。並聯 R 後，表與 R 並聯的等效電阻為 R_g R/(R_g + R)，幹路電流 I = E / [R₀ + R_g R/(R_g + R)]。表中電流由分流公式得 I_G = I · R/(R_g + R)，令 I_G = I_g/2：I_g/2 = E R / [R₀(R_g + R) + R_g R]，把 E = I_g(R₀+R_g) 代入並約去 I_g，兩邊乘 2 與分母：
2(R₀ + R_g) R = R₀(R_g + R) + R_g R = R₀R_g + R₀R + R_gR
左邊展開為 2R₀R + 2R_gR，減去右邊的 R₀R + R_gR，得 R₀R + R_gR = R₀R_g，即 R(R₀ + R_g) = R₀R_g，故
R = R₀ R_g / (R₀ + R_g)，即 R 等於 R₀ 與 R_g 的並聯值，因此恆有 R < R_g。
(2) 反求真值。先由滿偏條件求 R₀：R₀ + R_g = E/I_g = 3.00 / 0.00300 = 1000 Ω。把 R = 90.0 Ω 代入 R = R₀R_g/(R₀+R_g)，並注意分母 R₀ + R_g 恰為 1000 Ω：
90.0 = R₀ R_g / 1000；又 R₀ = 1000 − R_g，故 90.0 × 1000 = (1000 − R_g) R_g → R_g² − 1000 R_g + 90000 = 0。
解得 R_g = 100 Ω 或 900 Ω。由 R₀ ≫ R_g 的實驗條件（大電阻限流）取 R_g = 100 Ω，對應 R₀ = 900 Ω；另一根 900 Ω 意味著 R₀ = 100 Ω，不滿足半偏法前提且會使誤差極大，捨去。
(3) 誤差。若直接取 90.0 Ω 作 R_g，相對誤差 = (90.0 − 100)/100 = −10.0%，即偏小 10%。誤差來源不是讀數，而是並聯後幹路電流增大這一系統效應；增大 R₀ 可壓小它。若另配電源使滿偏時 R₀ + R_g = 5000 Ω（如取 R₀ = 4900 Ω、R_g = 100 Ω），則 R = 4900×100/5000 = 98.0 Ω，相對誤差降到 −2.0%——注意這已不是本例 E = 3.00 V、I_g = 3.00 mA 的電路，屬另設條件下的對照計算。
答案 (1) R = R₀R_g/(R₀ + R_g)（故 R < R_g）；(2) R_g = 100 Ω（R₀ = 900 Ω）；(3) 偏小，相對誤差 −10.0%。
採分點 寫出滿偏條件 E = I_g(R₀+R_g) 1 分；並聯等效與分流公式 2 分；化簡得精確關係 2 分；解二次方程並結合實驗條件取根 2 分；誤差數值與方向 1 分；誤差來源說明 1 分。
易錯點 直接寫「總電流不變所以 R = R_g」，漏掉系統誤差分析；解出兩根後不說明為何捨去 900 Ω；把相對誤差算成 (100−90)/90 = 11.1%（分母用錯）；把 R₀ 誤當成 1000 Ω（漏減 R_g）。
題2
題2 替代法對照
仍用上題器材，改用替代法：先接電流表 G，調 R₀ 使表指到 2.00 mA，記下位置；保持 R₀ 不動，用電阻箱替換 G，調電阻箱使幹路中同一監測表回到 2.00 mA，此時電阻箱讀數為 100.0 Ω。
(1) 求 R_g；(2) 說明替代法為什麼不產生半偏法那樣的系統誤差；(3) 指出兩種方法中「保持 R₀ 不動」的作用是否相同。
解析
(1) 兩次電路總電阻相同、電源相同、幹路電流相同，故替換前後該支路的電阻相等，R_g = 100.0 Ω，與題1 精確解一致 ✓ 互為驗算。(2) 替代法是等效替換：它比較的是「同一電流下兩次的電阻」，不依賴「並聯後幹路電流不變」這一近似；電源電動勢、內阻、R₀ 的具體數值在比較中被消去，因此不受這些量不準的影響，也無半偏法的原理性偏小誤差。殘餘誤差只來自電阻箱精度與判斷「電流相同」的分辨力，屬偶然誤差。
(3) 作用不完全相同：半偏法裡保持 R₀ 不動是為了讓「並聯前後」可比，但正是它導致幹路電流改變、產生系統誤差；替代法裡保持 R₀ 不動是為了保證兩次電路除被測支路外完全一致，是等效替換成立的前提，本身不引入誤差。一句話：前者是「不得已的近似」，後者是「嚴密的對照條件」。
答案 (1) 100.0 Ω；(2) 等效替換消去電源與 R₀ 的影響，不依賴幹路電流不變的近似；(3) 不相同，見解析。
採分點 等效替換原理 2 分；與題1 結果互驗 1 分；系統誤差消除說明 2 分；「保持 R₀ 不動」作用辨析 2 分。
易錯點 把替代法說成「也要半偏」；誤認為替代法無任何誤差（仍有偶然誤差）；把兩次的電流表位置搞混（監測表與被替換的表不是同一只）；漏答第(3)問的作用辨析。
三、規律小結與對照表
| 方法 | 核心關係 | 誤差性質 | 改進 |
|---|---|---|---|
| 半偏法 | R = R₀R_g/(R₀+R_g) ≈ R_g | 系統誤差，恆偏小 | 取 R₀ ≫ R_g（本例 900 Ω 時偏小 10%） |
| 替代法 | 等效替換：同電流 ⇒ 同電阻 | 僅偶然誤差（讀數、分辨力） | 用高精度電阻箱、重複測取平均 |
| 伏安法（對照） | R = U/I | 內外接帶來系統誤差 | 按 R 與 R_A、R_V 比較選接法 |
| 共同操作要點 | 調滿偏／定示數後保持 R₀ 不動 | — | 閉合 S₂ 前電阻箱先置大值，防表過載 |
半偏法的價值不在記住「偏小」，而在能把它寫成 R = R₀R_g/(R₀+R_g) 這一行：有了它，誤差方向、誤差大小、真值反推三問一次全解。本組電路參數、讀數與結果均為自編示意數據，已按閉合電路歐姆定律逐項回代互驗，不代表真實儀器參數。
四、自測清單
- 先畫等效電路：並聯前後幹路電阻怎麼變、電流怎麼變
- 半偏條件寫 I_G = I_g/2，不要寫成「幹路電流減半」
- 把 E = I_g(R₀+R_g) 代入消元，化簡到 R 與 R₀、R_g 的關係
- 解出二次方程後，用「R₀ ≫ R_g」的實驗前提舍根
- 替代法答案與半偏法精確解互相驗算，數值應一致
