聯招數學·極值點偏移入門：對稱構造與比值換元

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

先看現象：f(x)=xe^{−x} 在 x₀=1 取極大值 1/e，左側遞增、右側遞減。若水平線 y=m（0<m<1/e）與曲線交於 x₁<1<x₂，兩個交點並不是關於 x=1 對稱——右側拖得更遠，所以 x₁+x₂>2。要證的正是這個「不對稱」。

標準武器是對稱構造：令 F(x)=f(x)−f(2x₀−x)，這裡 x₀=1，即 F(x)=f(x)−f(2−x)。只要證出 x∈(0,1) 時 F(x)<0，就有 f(x₁)<f(2−x₁)；而 2−x₁ 落在右側遞減段，結合 f(x₂)=f(x₁) 便得 x₂>2−x₁，即 x₁+x₂>2。下面數據與函數式均為自編，做過數值與符號雙重互驗。

二、題目呈現

題1（解答題）

設 f(x)=x e^{−x}（x>0）。

(1) 求 f′(x)，寫出單調遞增與遞減區間；

(2) 求極大值點與極大值；

(3) 說明方程 f(x)=m 在 0<m<1/e 時恰有兩個實根。

題2（計算·自編試值表）

取自編 m=0.300。下表為自編試值（保留四位小數）：

f(0.48)=0.2970，f(0.50)=0.3033，f(1.75)=0.3041，f(1.80)=0.2975。

(1) 用線性插值分別估計兩根 x₁∈(0.48,0.50)、x₂∈(1.75,1.80)；

(2) 求 x₁+x₂，與 2x₀=2 比較，判斷偏移方向；

(3) 說明為什麼不能用「兩根關於 x=1 對稱」直接得 x₁+x₂=2。

題3（證明題）

(1) 令 F(x)=f(x)−f(2−x)（0<x<1），用換元 t=1−x 化簡併證明 F(x)<0；

(2) 由 (1) 嚴格證明 x₁+x₂>2；

(3) 用題2 的數值結果回代檢驗該結論。

三、分步解析

題1 (1)　f′(x)=e^{−x} + x(−e^{−x}) = (1−x)e^{−x}。因 e^{−x}>0，故 f′>0 當 0<x<1，f′<0 當 x>1。遞增區間 (0,1)，遞減區間 (1,+∞)。

題1 (2)　f′(1)=0，左正右負，故 x₀=1 為極大值點，f(1)=1×e^{−1}=1/e ≈ 0.3679。回代：f(0.5)=0.5e^{−0.5}≈0.3033 < 1/e，f(2)=2e^{−2}≈0.2707 < 1/e，兩側都低於極大值 ✓。

題1 (3)　x→0⁺ 時 f→0；在 (0,1) 上 f 從 0 連續增到 1/e；在 (1,+∞) 上 f 從 1/e 連續減向 0（x→+∞ 時 xe^{−x}→0）。故對任意 0<m<1/e，水平線 y=m 與左支、右支各交一次，恰有兩個實根 x₁∈(0,1)、x₂∈(1,+∞)。

題2 (1)　左根：在 (0.48, 0.50) 上線性插值，x₁ ≈ 0.48 + 0.02×(0.300−0.2970)/(0.3033−0.2970) = 0.48 + 0.02×0.0030/0.0063 ≈ 0.48 + 0.00952 = 0.4895。右根：在 (1.75, 1.80) 上，x₂ ≈ 1.75 + 0.05×(0.3041−0.300)/(0.3041−0.2975) = 1.75 + 0.05×0.0041/0.0066 ≈ 1.75 + 0.03106 = 1.7811。回代：0.4895e^{−0.4895}≈0.4895×0.6129≈0.3000；1.7811e^{−1.7811}≈1.7811×0.1685≈0.3001，與 m=0.300 一致（插值誤差內）✓。

題2 (2)　x₁+x₂ ≈ 0.4895+1.7811 = 2.2706 > 2 = 2x₀，即兩零點之和大於極值點橫座標的兩倍，右側偏離得更遠（x₂−1≈0.7811 > 1−x₁≈0.5105）。

題2 (3)　對稱只在函數圖象關於 x=1 對稱時成立，而 f(x)=xe^{−x} 並不關於 x=1 對稱：f(1+t)=(1+t)e^{−1−t}，f(1−t)=(1−t)e^{−1+t}，二者一般不等（題3 會嚴格證出大小關係）。若強行套「對稱」，會得 x₂=2−x₁≈1.5105，代回 f(1.5105)=1.5105e^{−1.5105}≈1.5105×0.2208≈0.3335 ≠ 0.300，與 f(x₂)=m 矛盾——這就是反證。

題3 (1)　令 t = 1−x ∈ (0,1)，則 x=1−t，2−x=1+t。F(x) = (1−t)e^{−(1−t)} − (1+t)e^{−(1+t)} = e^{−1}[ (1−t)e^{t} − (1+t)e^{−t} ]。記 H(t) = (1−t)e^{t} − (1+t)e^{−t}，H(0)=0。求導：H′(t) = −e^{t} + (1−t)e^{t} − e^{−t} + (1+t)e^{−t} = t(e^{−t} − e^{t})。因 t>0 時 e^{−t}<e^{t}，故 H′(t)<0，H 在 (0,1) 上嚴格遞減，結合 H(0)=0 得 H(t)<0；又 e^{−1}>0，故 F(x)<0 對 0<x<1 成立。數值抽查：t=0.5（x=0.5）時 H=0.5e^{0.5}−1.5e^{−0.5}=0.8244−0.9098=−0.0854<0，F≈−0.0314<0，與 f(0.5)=0.3033 < f(1.5)=0.3347 一致 ✓。

題3 (2)　取 x=x₁∈(0,1)，由 (1) 得 f(x₁) < f(2−x₁)。注意 2−x₁∈(1,2)，與 x₂ 同處遞減區間 (1,+∞)。又 f(x₂)=m=f(x₁)，故 f(x₂) < f(2−x₁)。在遞減段上，函數值越小對應自變量越大，因此 x₂ > 2−x₁，即 x₁+x₂ > 2 = 2x₀。證畢。關鍵點兩處：一要確認 2−x₁ 落在同一單調段，二要正確使用遞減不等號的方向。

題3 (3)　用題2 的插值結果回代：x₁+x₂≈2.2706>2 ✓；再看構造本身，x₁≈0.4895，2−x₁≈1.5105，f(2−x₁)=1.5105e^{−1.5105}≈0.3335 > 0.300=f(x₁)，即 F(x₁)=0.300−0.3335≈−0.0335<0 ✓；且 x₂≈1.7811 > 1.5105 ✓，三步與嚴格證明逐項對應。另以精確數值解核對：方程 xe^{−x}=0.300 的兩根約為 0.48940 與 1.78134，和 ≈2.27074 > 2 ✓。

四、採分點對照

五、高頻易錯點

• 默認兩零點關於極值點對稱，直接寫 x₁+x₂=2x₀——這正是要證的否命題。
• 構造 F 後不確認 2−x₁ 是否落在同一單調區間，遞減段的不等號方向就用錯。
• 換元時把 e^{−(1−t)} 與 e^{t} 的係數搞混，H′ 化簡不出 t(e^{−t}−e^{t})。
• 插值只在端點代入一次，不回代 f(x)=m 驗證。
• 把「右側拖得更遠」當結論直接寫，不給 F(x)<0 的嚴格推導。

六、小結與自查清單

• □ 先求極值點與單調區間，確認 2x₀−x₁ 落在哪個單調段。
• □ 構造 F(x)=f(x)−f(2x₀−x)，用換元把指數項合併。
• □ 證 F 符號後，用「遞減段函數值小 ⇒ 自變量大」翻成 x 的不等式。
• □ 數值題插值完必回代原式，並與嚴格結論逐項對照。
• □ 絕不把「對稱」當前提；對稱恰恰是本題要否定的東西。

極值點偏移的題眼是「看起來對稱，其實不對稱」：對稱構造把「差多少」變成一個可求導的 F(x)，F 的符號再借單調段翻譯成 x₁+x₂ 與 2x₀ 的大小。數值插值只用來給直覺，真正站得住的是 H′=t(e^{−t}−e^{t})<0 那一步。本組函數、試值表與 m 值均為原創自編仿真內容，全部經數值與符號雙重互驗。