題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
先把四個公式掛在同一個 S 上：S = ½bc sinA、S = abc/(4R)、S = rs（s 為半周長）、a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R。它們不是四個孤立結論，而是同一塊麵積的四種算法；任給一組條件，至少能找到兩條路算出同一個 S，這就是回代驗算的抓手。
易混點先說清：s 是半周長（(a+b+c)/2），不是面積 S；海倫公式 S=√(s(s−a)(s−b)(s−c)) 裡的 s 與 S=rs 裡的 s 是同一個量。R 是外接圓半徑、r 是內切圓半徑，一般 R ≥ 2r（歐拉不等式，本題數據也會滿足）。下面邊長與角度均為自編，全部做過精確值與近似值互驗。
二、題目呈現
題1（解答題）
自編三角形三邊 a=5, b=6, c=7。
(1) 求半周長 s 與面積 S（用海倫公式，保留根號）；
(2) 由 S=abc/(4R) 求外接圓半徑 R，由 S=rs 求內切圓半徑 r；
(3) 驗證 R ≥ 2r 成立。
題2（解答題·雙向回驗）
對題1 的三角形：
(1) 用餘弦定理求 cosA 與 sinA，再由 2R=a/sinA 求 R；
(2) 與題1 (2) 的 R 比較是否一致；
(3) 用 S=½bc sinA 再算一次面積，與海倫公式結果核對。
題3（解答題）
另給自編條件：A=60°，b=4，c=5。
(1) 由余弦定理求 a（保留根號），並求 S=½bc sinA；
(2) 由 S=abc/(4R) 求 R；
(3) 用 2R=a/sinA 回代驗證，並求 s 與 r（保留根號或兩位小數）。
三、分步解析
題1 (1) s = (5+6+7)/2 = 9。海倫公式：S = √(9×(9−5)×(9−6)×(9−7)) = √(9×4×3×2) = √216 = 6√6 ≈ 14.697。回代：9×4×3×2=216，√216=6√6 ✓（6√6=6×2.44949=14.6969）。
題1 (2) abc = 5×6×7 = 210。由 S=abc/(4R) 得 R = abc/(4S) = 210/(4×6√6) = 210/(24√6) = 8.75/√6 = 35√6/24 ≈ 3.572。由 S=rs 得 r = S/s = 6√6/9 = 2√6/3 ≈ 1.633。回代：rs = (2√6/3)×9 = 6√6 = S ✓；abc/(4R) = 210/(4×35√6/24) = 210×24/(140√6) = 36/√6 = 6√6 = S ✓，兩式都還原同一面積。
題1 (3) R ≈ 3.572，2r ≈ 3.266，故 R ≥ 2r 成立。精確比較：R − 2r = 35√6/24 − 4√6/3 = 35√6/24 − 32√6/24 = 3√6/24 = √6/8 > 0 ✓。回代：R/(2r) = (35√6/24)/(4√6/3) = (35/24)×(3/4) = 105/96 = 1.094 > 1 ✓。
題2 (1) cosA = (b²+c²−a²)/(2bc) = (36+49−25)/(2×6×7) = 60/84 = 5/7。sinA = √(1−25/49) = √(24/49) = 2√6/7。由 2R = a/sinA 得 R = a/(2 sinA) = 5/(2×2√6/7) = 5×7/(4√6) = 35/(4√6) = 35√6/24 ≈ 3.572。
題2 (2) 與題1 (2) 的 R = 35√6/24 完全一致 ✓。數值核對：210/(4×6√6)=35√6/24 與 5/(2 sinA) 兩條獨立路徑匯合。再用 c 邊複核：cosC=(a²+b²−c²)/(2ab)=(25+36−49)/60=12/60=1/5，sinC=√(24/25)=2√6/5，c/sinC=7/(2√6/5)=35/(2√6)=35√6/12=2R，故 R=35√6/24 ✓。
題2 (3) S = ½bc sinA = ½×6×7×(2√6/7) = 3×7×2√6/7 = 6√6，與題1 海倫公式結果 6√6 一致 ✓。三條路徑（海倫、½bc sinA、rs）都給出同一面積，公式體系閉環。
題3 (1) a² = b²+c²−2bc cosA = 16+25−2×4×5×½ = 41−20 = 21，故 a = √21 ≈ 4.583。S = ½bc sinA = ½×4×5×(√3/2) = 5√3 ≈ 8.660。回代：用海倫公式核對，s=(√21+9)/2≈6.7915，S=√(s(s−a)(s−b)(s−c))≈√(6.7915×2.2085×2.7915×1.7915)≈√75.0=8.660 ✓（精確值 5√3，√75=5√3 ✓）。
題3 (2) abc = √21×4×5 = 20√21。R = abc/(4S) = 20√21/(4×5√3) = 20√21/(20√3) = √21/√3 = √7 ≈ 2.646。回代：S = abc/(4R) = 20√21/(4√7) = 5√21/√7 = 5√3 ✓。
題3 (3) 2R = 2√7 ≈ 5.292；a/sinA = √21/(√3/2) = 2√21/√3 = 2√7 ≈ 5.292，兩者一致 ✓。半周長 s = (a+b+c)/2 = (√21+9)/2 ≈ 6.7915；r = S/s = 5√3 / ((√21+9)/2) = 10√3/(√21+9) ≈ 8.660/6.7915 ≈ 1.275。再核對：rs = 1.275×6.7915 ≈ 8.660 = S ✓；R ≥ 2r：2.646 ≥ 2.550 ✓。
四、採分點對照
| 題號 | 答案 | 採分點構成 |
|---|---|---|
| 題1 (1) | s=9，S=6√6≈14.697 | 半周長 1 分；海倫公式代入 1 分；根號化簡 1 分；近似值 1 分 |
| 題1 (2) | R=35√6/24≈3.572；r=2√6/3≈1.633 | 兩個公式各 1 分；兩個結果各 1 分；雙向回代 S 1 分 |
| 題1 (3) | R≥2r 成立 | 數值比較 1 分；精確差 √6/8>0 1 分；比值核對 1 分 |
| 題2 (1) | cosA=5/7，sinA=2√6/7，R=35√6/24 | 餘弦定理 1 分；同角平方關係 1 分；由 2R 求 R 1 分 |
| 題2 (2) | 與題1 一致 | 兩條路徑對比 1 分；用 c 邊再複核 1 分 |
| 題2 (3) | S=6√6 | 公式代入 1 分；與海倫結果一致 1 分；寫出三路閉環 1 分 |
| 題3 (1) | a=√21，S=5√3≈8.660 | 餘弦定理 1 分；面積 1 分；海倫回代 1 分 |
| 題3 (2) | R=√7≈2.646 | 由 S=abc/(4R) 變形 1 分；化簡 1 分；回代 S 1 分 |
| 題3 (3) | 2R=a/sinA=2√7；r≈1.275 | 比值互驗 1 分；s 1 分；r 1 分；rs=S 與 R≥2r 各 1 分 |
五、高頻易錯點
- 把半周長 s 與面積 S 混用：海倫公式裡的 s 與 S=rs 裡的 s 是同一個量。
- 用 S=abc/(4R) 求 R 時忘記乘 4，或把 R 與 2R 寫反。
- 由 cosA 求 sinA 時漏掉 A 為三角形內角、sinA 取正這一前提。
- 兩組數據分別算完就收工，不做 S=rs、2R=a/sinA 的回代，錯了也看不出。
- 近似值過早取整，導致後面回代對不上（本題保留根號到最後一步）。
六、小結與自查清單
| 公式 | 已知 → 求 | 題1 結果 | 題3 結果 |
|---|---|---|---|
| 海倫 / ½bc sinA | 三邊或兩邊夾角 → S | 6√6 | 5√3 |
| S = abc/(4R) | S、三邊 → R | 35√6/24 | √7 |
| S = rs | S、s → r | 2√6/3 | ≈1.275 |
| a/sinA = 2R | 邊與對角 → 2R | 35√6/12 | 2√7 |
- □ 先算半周長 s，把海倫公式與 S=rs 掛到同一個 s 上。
- □ R 至少算兩條路（abc/4S 與 a/(2sinA)），看是否匯合。
- □ 近似值留到最後，中間一律帶根號。
- □ 每求一次 R 或 r，都反代回 S 或 2R 驗一遍。
- □ 收尾核對 R ≥ 2r，作為整體合理性的快速檢查。
這組公式看著多，其實只是同一塊麵積的四種算法：海倫給 S，S=abc/(4R) 給外接圓，S=rs 給內切圓，a/sinA=2R 把邊角與外接圓扣上。養成「每求一個量都從另一條路反代」的習慣，根號化簡對不對、4 有沒有漏，當場就露出來。本組邊長、角度與數值均為原創自編仿真內容，全部經精確值與近似值互驗。
