聯招數學·三次函數專題：對稱中心、極值與零點

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

三次函數 f(x)=ax³+bx²+cx+d 的對稱中心就是拐點 (−b/(3a), f(−b/(3a)))，也就是 f″(x)=0 的點。對 f(x)=x³−6x²+9x−2，f″(x)=6x−12，拐點橫座標 x=2，f(2)=0，故中心為 (2,0)。驗證方法是 f(2+t)+f(2−t)=2f(2)，後面每問都要拿它回代。

極值看 f′(x)=3x²−12x+9=3(x−1)(x−3)：x=1 處由正變負是極大，x=3 處由負變正是極小。零點個數不用硬解：極大值 >0 且極小值 <0 時三個實根；有一個等於 0 時兩根（其中一個重根）；同號時一個實根。下面數據為自編，全部做過因式分解與數值互驗。

二、題目呈現

題1（解答題）

設 f(x)=x³−6x²+9x−2。

(1) 求 f″(x)=0 的點，並證明 f 的圖象關於點 (2, f(2)) 中心對稱；

(2) 計算 f(2+t)+f(2−t)，驗證它恆等於 2f(2)。

題2（解答題）

對上題的 f(x)：

(1) 求 f′(x) 的兩個根，寫出單調遞增與遞減區間；

(2) 求極大值與極小值，並說明 x=1、x=3 各是什麼極值點；

(3) 用極大值與極小值的符號判斷 f(x)=0 的實根個數。

題3（解答題）

(1) 驗證 x=2 是 f(x)=0 的一個根，並把 f(x) 分解為 (x−2)(x²+px+q) 的形式；

(2) 解出全部三個實根（保留根號），並把三根按大小排序；

(3) 驗證三根之和、兩兩乘積之和、三根之積與韋達定理一致，並核對三根分別落在題2 給出的哪個單調區間內。

三、分步解析

題1 (1)　f′(x)=3x²−12x+9，f″(x)=6x−12。令 f″(x)=0 得 x=2，f(2)=8−24+18−2=0，故拐點為 (2,0)。對稱性證明：設 g(t)=f(2+t)，展開 (2+t)³−6(2+t)²+9(2+t)−2 = (8+12t+6t²+t³) −6(4+4t+t²) + 18+9t−2 = 8+12t+6t²+t³−24−24t−6t²+18+9t−2 = t³ − 3t。同理 f(2−t)=−t³+3t。兩式相加恆為 0，即 f(2+t)+f(2−t)=0=2f(2)，對任意 t 成立，故圖象關於 (2,0) 中心對稱。

題1 (2)　由上式 f(2+t)+f(2−t) = (t³−3t)+(−t³+3t)=0，而 2f(2)=2×0=0，恆等成立。數值抽查：t=1 時 f(3)=27−54+27−2=−2，f(1)=1−6+9−2=2，和為 0；t=2 時 f(4)=64−96+36−2=2，f(0)=−2，和為 0，兩處均吻合。

題2 (1)　f′(x)=3x²−12x+9=3(x²−4x+3)=3(x−1)(x−3)，兩根 x=1、x=3。開口向上，故 f′>0 當 x<1 或 x>3，f′<0 當 1<x<3。遞增區間：(−∞,1) 與 (3,+∞)；遞減區間：(1,3)。

題2 (2)　f(1)=1−6+9−2=2（極大值）；f(3)=27−54+27−2=−2（極小值）。x=1 處 f′ 由正變負 → 極大值點；x=3 處 f′ 由負變正 → 極小值點。回代：f(1)=2>0、f(3)=−2<0 與題1 中 f(1)=2、f(3)=−2 一致。

題2 (3)　極大值 2>0、極小值 −2<0，且 x→−∞ 時 f→−∞、x→+∞ 時 f→+∞，曲線必在 (−∞,1)、(1,3)、(3,+∞) 三段各穿過 x 軸一次，故 共 3 個實根。三段各一個，與題3 解出的三根位置對應。

題3 (1)　代入 x=2：8−24+18−2=0 ✓。設 f(x)=(x−2)(x²+px+q)=x³+(p−2)x²+(q−2p)x−2q。與 x³−6x²+9x−2 比較係數：p−2=−6 ⟹ p=−4；−2q=−2 ⟹ q=1；校驗 q−2p=1+8=9 ✓。故 f(x)=(x−2)(x²−4x+1)。

題3 (2)　解 x²−4x+1=0：x = (4±√(16−4))/2 = 2±√3。三根為 x₁=2−√3≈0.2679，x₂=2，x₃=2+√3≈3.7321，按大小排序即 x₁<x₂<x₃。回代：x₁ 代入二次式 (2−√3)²−4(2−√3)+1 = 7−4√3−8+4√3+1=0 ✓；x₃ 同理為 0 ✓。

題3 (3)　韋達定理（對 x³−6x²+9x−2）：三根之和 =6，兩兩乘積之和 =9，三根之積 =2。實算：和 =(2−√3)+2+(2+√3)=6 ✓；積 =(2−√3)(2+√3)×2=(4−3)×2=2 ✓；兩兩積 =(2−√3)·2 + 2·(2+√3) + (2−√3)(2+√3) = (4−2√3)+(4+2√3)+1 = 9 ✓。區間核對：x₁≈0.268∈(−∞,1)（遞增段）、x₂=2∈(1,3)（遞減段）、x₃≈3.732∈(3,+∞)（遞增段），與題2 (3) 的「三段各一根」完全對應。再核對中心對稱：x₁+x₃=4=2×2，兩根關於 x=2 對稱 ✓。

四、採分點對照

五、高頻易錯點

• 把對稱中心寫成極值點中點卻不去證 f(2+t)+f(2−t)=2f(2)，只憑「看著像」。
• 把 f′ 的兩根當成零點：x=1、x=3 是極值點，f(1)=2、f(3)=−2 都不是 0。
• 判零點個數只算判別式、不結合極大極小值的符號與兩端趨勢。
• 因式分解時漏校驗一次項係數，p、q 求錯也看不出來。
• 解出三根後不回代單調區間，丟掉「三段各一根」這一互驗環節。

六、小結與自查清單

• □ 先求 f″ 定拐點，再用 f(2+t)+f(2−t) 驗證中心對稱。
• □ f′ 因式分解後畫符號表，遞增遞減區間一次寫全。
• □ 極值算完順手記下符號，零點個數直接用它判。
• □ 分解三次式必比較三個係數，尤其校驗一次項。
• □ 三根解出後核對韋達三式，並逐一放回單調區間。

三次函數好看就好在三副面孔能互相驗算：拐點給對稱性，f′ 兩根給極值，極值符號給零點個數，因式分解給精確根，最後韋達定理與 x₁+x₃=2×2 把整條鏈釦死。任何一步算錯，回代時都會露出來。本組函數式、係數與根值均為原創自編仿真內容，全部經因式分解與數值互驗。