聯招數學·兩曲線公切線與切點參數法

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

通法四步：①設兩切點 C₁ 上取 (t, f(t))、C₂ 上取 (s, g(s))，兩個參數必須獨立（不能默認切點相同）；②各寫切線 y = f′(t)(x − t) + f(t) 與 y = g′(s)(x − s) + g(s)，都化成 y = kx + b 的形式；③列兩條件斜率相等 f′(t) = g′(s)，截距相等 b₁ = b₂；④解參數並回代把 t、s 代回兩曲線，驗證切點確在曲線上、兩處斜率確實相同、截距確實一致。

一個常見誤區：把「公切線」當成「兩曲線交點處的切線」。公切線可以在兩個不同點分別相切；若兩曲線相交且在該點相切，那只是特殊的公切線。下面函數式與數值均為自編，並逐處回代驗算。

二、題目呈現

題1

已知曲線 C₁：y = x²，C₂：y = x² − 2x + 2。求兩曲線的公切線方程，並寫出兩個切點的座標。

題2

已知曲線 C₁：y = x² + 2x，C₂：y = x² − 2x。求它們的公切線方程與兩個切點座標。

題3（單選）

設題1 中兩曲線的公切線斜率為 k，兩個切點的橫座標分別為 t、s，則下列結論正確的是（　）

A. k = 0，t + s = 0　B. k = 1，t + s = 2　C. k = 2，t s = 1　D. k = −1，t = s

三、分步解析

題1　設 C₁ 上切點為 (t, t²)，f′(x) = 2x ⇒ 斜率 2t，切線：
y = 2t(x − t) + t² = 2t x − t²。
設 C₂ 上切點為 (s, s² − 2s + 2)，g′(x) = 2x − 2 ⇒ 斜率 2s − 2，切線：
y = (2s − 2)(x − s) + s² − 2s + 2 = (2s−2)x − 2s² + 2s + s² − 2s + 2 = (2s − 2)x − s² + 2。
兩條切線是同一條直線 ⇒ 斜率與截距分別相等：
① 2t = 2s − 2 ⇒ s = t + 1；
② −t² = −s² + 2 ⇒ s² − t² = 2。
把 s = t+1 代入②：(t+1)² − t² = 2t + 1 = 2 ⇒ t = 1/2，從而 s = 3/2。
斜率 k = 2t = 1，截距 = −t² = −1/4，故公切線為 y = x − 1/4。
兩個切點：C₁ 上 (1/2, 1/4)，C₂ 上 (3/2, 9/4 − 3 + 2 = 5/4)。
回代驗算（四條）：① C₁ 切點 (0.5, 0.25) 代入 y = x − 0.25 ⇒ 0.5 − 0.25 = 0.25 ✓，斜率 f′(0.5) = 1 ✓；② C₂ 切點 (1.5, 1.25) 代入 ⇒ 1.5 − 0.25 = 1.25 ✓，斜率 g′(1.5) = 2×1.5 − 2 = 1 ✓；③ 截距一致：−t² = −0.25，−s²+2 = −2.25+2 = −0.25 ✓；④ 兩曲線形狀相同、C₂ 是 C₁ 向左平移 1 再上移 1 所得，斜率相等條件給出唯一關係 s = t+1，故公切線恰有一條，與解的唯一性一致。

題2　設 C₁ 上切點 (t, t² + 2t)，f′(x) = 2x + 2 ⇒ 斜率 2t + 2，切線：
y = (2t+2)(x − t) + t² + 2t = (2t+2)x − 2t² − 2t + t² + 2t = (2t + 2)x − t²。
設 C₂ 上切點 (s, s² − 2s)，g′(x) = 2x − 2 ⇒ 斜率 2s − 2，切線：
y = (2s−2)(x − s) + s² − 2s = (2s−2)x − 2s² + 2s + s² − 2s = (2s − 2)x − s²。
同一直線 ⇒ ① 2t + 2 = 2s − 2 ⇒ s = t + 2；② −t² = −s² ⇒ t² = s²。
代入：t² = (t+2)² = t² + 4t + 4 ⇒ 4t + 4 = 0 ⇒ t = −1，s = 1。
斜率 k = 2(−1) + 2 = 0，截距 = −t² = −1 ⇒ 公切線為 y = −1（水平線）。
切點：C₁ 上 (−1, 1 − 2 = −1)，C₂ 上 (1, 1 − 2 = −1)。
回代驗算：兩切點縱座標均為 −1，恰是兩條拋物線的頂點；f′(−1) = 0、g′(1) = 0，兩處斜率同為 0 ✓；截距 −t² = −1 = −s² ✓。幾何上 C₁ 頂點 (−1,−1)、C₂ 頂點 (1,−1)，過兩個頂點且斜率為 0 的直線即 y = −1，唯一 ✓。

題3　由題1 已得 k = 1、t = 1/2、s = 3/2，故 t + s = 2，選 B。
逐項排除：A 的 k = 0 是題2 的結果（把兩組曲線記混了），且 t+s = 0 與本題不符；C 的 k = 2 與 ts = (1/2)(3/2) = 3/4 都不成立；D 的 t = s 違反「兩切點獨立」——若 t = s，則斜率條件 2t = 2t − 2 推出 0 = −2，矛盾，說明公切線不可能在橫座標相同的兩點相切。
再驗一次：把 k = 1 代回斜率條件 2t = 1 ⇒ t = 1/2；2s − 2 = 1 ⇒ s = 3/2；截距 −1/4 一致 ✓，與題1 完全吻合。

方法小結　兩題用的是同一套參數法，但結果形態不同：題1 是斜公切線（k = 1，兩切點橫座標差 1），題2 是水平公切線（k = 0，兩切點恰為兩頂點）。差別來自兩條拋物線的相對位置：題1 的 C₂ 由 C₁ 平移所得且開口相同，斜率相等給出 s = t + 1；題2 的兩條拋物線頂點等高，故在頂點處共享一條水平切線。兩類都要靠「斜率相等＋截距相等」兩個條件才能定出兩個參數，少一個就解不唯一。

四、採分點對照

五、高頻易錯點

• 只設一個切點參數，默認兩曲線在同一點相切——公切線通常在兩個不同點。
• 切線方程沒化成 y = kx + b 就比對，把 (x − t) 型式子硬對係數導致截距算錯。
• 只列「斜率相等」一個條件，漏掉「截距相等」，兩個參數解不出來。
• 題2 把 t² = s² 直接開方取 s = t，漏掉 s = −t 那一支（本題由 s = t+2 與 t²=s² 聯立得 t=−1,s=1）。
• 解完不回代：漏驗切點是否在曲線上、兩處斜率是否相同、截距是否一致。

六、小結與自查清單

• □ 兩個切點設兩個獨立參數，別默認 t = s。
• □ 兩條切線都化成 y = kx + b 再比對係數。
• □ 「斜率相等」與「截距相等」兩個條件缺一不可，寫全再解。
• □ 解出 t、s 後回代：切點代入曲線、兩處斜率、截距三項逐條驗。
• □ 注意 t² = s² 有正負兩支，別隻取 s = t。

公切線題沒有捷徑，就是「設兩個切點 → 寫兩條切線 → 斜率相等＋截距相等 → 回代驗四條」。題1 得到斜的 y = x − 1/4，題2 得到水平的 y = −1，形態不同、方法完全一樣；最容易翻車的是把兩切點當成同一個點，或者只列斜率條件少列截距條件。本組函數式與數值均為原創自編，並逐處回代驗算。