聯招物理·實驗題：探究功與物體速度變化的關係

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

實驗設計的關鍵巧思：不必測出功的絕對值。用 1 條、2 條、3 條……相同橡皮筋並聯，每次拉伸到同一長度 x，則做功分別為 W₁、2W₁、3W₁……成整數倍；只要作出 W—v、W—v²、W—√v 三種圖，哪一條是過原點的直線，關係就是哪一個。理論上由動能定理 W = ½mv² 可知應是 W ∝ v²。

操作上有三處必須交代：①平衡摩擦力（墊高木板一端，使小車在無橡皮筋牽引時能拖著紙帶勻速下滑），否則 W 裡混進摩擦功；②每次拉伸量相同，倍數關係才成立；③測速取橡皮筋恢復原長之後的勻速段，用紙帶上間距均勻的部分算 v，不能取加速段。下面六組數據為自編示意數值，且做了三處閉環核對，不代表真實測量記錄。

二、題目呈現

題目

某同學用圖示裝置探究功與速度變化的關係。小車（含砝碼）質量 m = 0.200 kg，木板已平衡摩擦力。用 n 條相同橡皮筋並聯、每次拉伸同一長度，設每條橡皮筋對小車做的淨功為 W₁ = 0.100 J（自編示意值，已扣除摩擦影響）。紙帶勻速段測得速度如下：

自編數據表

| n（條） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| W = nW₁ / (10⁻² J) | 10.0 | 20.0 | 30.0 | 40.0 | 50.0 | 60.0 |

| v / (m·s⁻¹) | 1.00 | 1.41 | 1.73 | 2.00 | 2.24 | 2.45 |

| v² / (m²·s⁻²) | 1.00 | 1.99 | 2.99 | 4.00 | 5.02 | 6.00 |

設問

(1) 說明為什麼用「橡皮筋條數成倍增加」就可以不測功的具體數值；
(2) 分別判斷 W 與 v、W 與 v² 是否成線性關係，求出 W—v² 圖的斜率並寫出關係式；
(3) 用動能定理核對斜率數值，做三處閉環驗算；
(4) 說明平衡摩擦力、每次拉伸量相同、取勻速段測速這三項若不滿足，各會造成什麼偏差。

三、分步解析

(1) 倍數設計　n 條相同橡皮筋並聯、拉伸同一長度 x 時，每條儲存並釋放的彈性勢能相同，故總功 W = nW₁。實驗中只需把橫座標取為 n（或 W/W₁ 的倍數），就能用相對倍數代替「測出多少焦耳」；判斷 W 與 v 的冪次關係只依賴倍數是否成比例，不依賴 W₁ 的絕對數值。這正是本實驗避開直接測力的關鍵。
採分點：寫出 W=nW₁ 1 分、說明「相同＋同伸長量」是保證等功的前提 1 分、說明倍數可替代絕對值 1 分。

(2) 線性化與斜率　W 與 v：W/v 分別為 10.0、14.2、17.3、20.0、22.3、24.5（單位 10⁻² J·s/m），不是常數，故 W 與 v 不成線性。
W 與 v²：逐組算 W/v²（單位 J·s²/m²，注意 W 已換算成 J）：
n=1：0.100/1.00 = 0.100；n=2：0.200/1.99 ≈ 0.1005；n=3：0.300/2.99 ≈ 0.1003；n=4：0.400/4.00 = 0.100；n=5：0.500/5.02 ≈ 0.0996；n=6：0.600/6.00 = 0.100。
六組比值在 0.100 ± 0.0005 內，為常數 ⇒ W 與 v² 成線性且過原點。
斜率 k = W/v² = 0.100 J·s²/m²，關係式 W = 0.100 v²（W 單位 J，v 單位 m/s）。
截距檢查：n = 0（不做功）時 v = 0、v² = 0，直線過原點，無需常數項 ✓。
採分點：算出 W/v 非常數 1 分、逐組算 W/v² 2 分、判定線性過原點 1 分、斜率與單位 2 分、關係式 1 分。

(3) 動能定理核對與三處閉環　理論值：平衡摩擦力後，橡皮筋做的淨功全部轉化為動能增量，W = ½mv² = ½ × 0.200 × v² = 0.100 v²。理論斜率 ½m = 0.100，與 (2) 由數據擬合出的 0.100 完全一致 ✓。
驗算一（逐組回代）：n=4 時 W = 0.400 J，v² = 4.00 ⇒ v = 2.00 m/s；代回 ½mv² = 0.5 × 0.200 × 4.00 = 0.400 J ✓。
驗算二（由速度反推功）：n=6 時 v = 2.45、v² = 6.00 ⇒ W = 0.100 × 6.00 = 0.600 J = 6 W₁ ✓，與條數倍數一致。
驗算三（由功反推速度）：n=2 時 W = 0.200 J ⇒ v² = W/0.100 = 2.00 ⇒ v = √2 ≈ 1.41 m/s ✓，與表中 1.41（v² = 1.99，屬三位取值舍入）一致。
三處閉環說明：數據、擬合斜率、動能定理三者自洽；表中的 1.99、2.99、5.02 是 v 取兩位小數後平方產生的舍入，不是實驗誤差，答題時應點明。
採分點：寫出 W = ½mv² 2 分、算出 ½m = 0.100 1 分、三處驗算各 1 分、說明舍入 1 分。

(4) 三項操作的偏差　①未平衡摩擦力：橡皮筋做的功有一部分要克服摩擦，實測 W_測 = ½mv² + W_f，作出的 W—v² 直線不再過原點（有正截距），且斜率大於 ½m；若按 W = ½mv² 處理會高估動能增量。②每次拉伸量不同：W 與 n 不再成整數倍，橫座標的倍數關係失真，W—v² 散點不成直線，無法判斷冪次。③取加速段測速：橡皮筋尚未恢復原長時小車仍在加速，紙帶點距不均勻，測得的 v 不是「做功完畢後的末速度」，代入會使 v² 偏小、散點系統性偏離直線。此外還須先接通電源再釋放小車、紙帶與限位孔摩擦儘量小。
採分點：三項各 2 分（偏差方向＋原因），補充操作 1 分。

四、採分點對照

五、高頻易錯點

• 把 W 與 v 直接判為線性（看 W 和 n 都是等差的，誤以為 v 也等差）。
• 算 W/v² 時忘記把表中「10⁻² J」換算成 J，斜率錯成 10.0。
• 不寫斜率單位，或把關係式寫成 W = 0.100v（漏平方）。
• 漏掉動能定理核對：本實驗最有說服力的一步就是 ½m 與擬合斜率吻合。
• 把表中 1.99、5.02 當成實驗誤差去「修正」，其實只是 v 取兩位小數後的平方舍入。

六、小結與自查清單

• □ 先說明「相同橡皮筋＋同一伸長量」是 W 成倍數的前提。
• □ 把 W/v、W/v² 各算一組比值列成小表，用「是否近似常數」判定線性。
• □ 斜率寫數值也寫單位，關係式寫成 W = k v²。
• □ 用 W = ½mv² 算理論斜率 ½m 並與擬合值對照，再取一組數據雙向回代。
• □ 把三項操作要點各寫清「不滿足會往哪邊偏」，並點明舍入不是誤差。

這個實驗的漂亮之處在於「不測功也能找關係」：只要功成倍數，作三種圖看哪條過原點就夠了。而說服力來自最後那一下——擬合出的斜率 0.100 恰好等於 ½m = ½×0.200，數據、圖像、動能定理三面對上，結論才站得住。本題質量、功與六組速度數據均為自編示意數值，不代表真實測量記錄。