聯招物理·實驗題：研究平拋運動與求初速度

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

兩個方向分開看：水平 x = v₀t（勻速），豎直 y = ½gt²（自由落體，y 軸向下為正）。消去 t = x/v₀ 得軌跡方程 y = g x²/(2v₀²)，即 y 與 x² 成正比——這就是判據：把描出的點算 y/x²，若為常數，軌跡就是拋物線，該常數等於 g/(2v₀²)。

求 v₀ 有兩條獨立路徑：路徑一由常數 k = y/x² = g/(2v₀²) 反解 v₀ = √(g/(2k))；路徑二取某一點先由 y = ½gt² 求 t = √(2y/g)，再 v₀ = x/t。兩路結果必須一致。操作上還要注意座標原點必須取小球球心在槽口末端的位置、木板豎直、每次從斜槽同一位置由靜止釋放。下面座標與數據為自編示意數值，並做兩路閉環，不代表真實測量記錄。

二、題目呈現

題目

用描點法研究平拋運動。以拋出點 O 為原點，x 軸水平向右、y 軸豎直向下，取 g = 10.0 m/s²。自編示意描點數據如下（已換算為國際單位）：

自編數據表

| 點 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |

| --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| x / m | 0.100 | 0.200 | 0.300 | 0.400 | 0.500 |

| y / m | 0.0125 | 0.0500 | 0.1125 | 0.200 | 0.3125 |

設問

(1) 計算各點的 y/x²，說明軌跡是否為拋物線，並寫出軌跡方程；
(2) 用兩條獨立路徑求初速度 v₀，並互驗；
(3) 若初速度變為 4.00 m/s（加倍）而 g 不變，求 x = 0.400 m 處的 y′，並說明 y 與 v₀ 的關係；
(4) 說明實驗中「原點取球心位置」「木板豎直」「每次從同一位置靜止釋放」三項各自的作用。

三、分步解析

(1) 軌跡判定與方程　逐點算 k = y/x²（單位 m⁻¹）：
點1：0.0125/0.0100 = 1.25；點2：0.0500/0.0400 = 1.25；點3：0.1125/0.0900 = 1.25；點4：0.200/0.1600 = 1.25；點5：0.3125/0.2500 = 1.25。
五組比值完全相同 ⇒ y ∝ x²，軌跡為拋物線，且 k = 1.25 m⁻¹。
軌跡方程：y = 1.25 x²（SI 單位）。
由理論式 y = g x²/(2v₀²) 知 k = g/(2v₀²)，與數據一致（見 (2) 反解）。
自檢：所有點均滿足 x 等間距 0.100 m 時 y 呈 1:4:9:16:25 的平方序列（0.0125 : 0.0500 : 0.1125 : 0.200 : 0.3125 = 1:4:9:16:25）✓，這正是「等時間間隔下落位移比」的體現。
採分點：逐點算比值 2 分、判定拋物線 1 分、軌跡方程 1 分、平方序列自檢 1 分。

(2) 兩路求 v₀ 並互驗　路徑一（由 k 反解）：k = g/(2v₀²) = 1.25 ⇒ v₀² = g/(2k) = 10.0/(2 × 1.25) = 10.0/2.50 = 4.00 ⇒ v₀ = 2.00 m/s。
路徑二（由單點求時間）：取點4，y = 0.200 m，由 y = ½gt² 得 t = √(2y/g) = √(0.400/10.0) = √0.0400 = 0.200 s；於是 v₀ = x/t = 0.400/0.200 = 2.00 m/s ✓。
互驗三處：① 兩路 v₀ 完全一致 ✓；② 由 v₀ = 2.00 反算五點的 t = x/v₀ 分別為 0.050、0.100、0.150、0.200、0.250 s，再算 y = ½×10×t² 分別得 0.0125、0.0500、0.1125、0.200、0.3125 m，與表中五組數據逐點吻合 ✓；③ 水平方向 x/t 恆為 2.00 m/s ✓，豎直方向 y/t² 恆為 5.00 m/s² = g/2 ✓，兩個方向各自成立，說明分解正確。
採分點：寫出軌跡理論式 1 分、路徑一 2 分、路徑二 2 分、三處互驗各 1 分。

(3) 初速度加倍　由 y = g x²/(2v₀²) 知在 x、g 不變時 y ∝ 1/v₀²。v₀′ = 4.00 m/s = 2v₀ ⇒ y′ = y/4 = 0.200/4 = 0.0500 m。
回代驗算（兩路）：① 軌跡式 k′ = g/(2v₀′²) = 10.0/(2×16.0) = 0.3125 m⁻¹ ⇒ y′ = 0.3125 × (0.400)² = 0.3125 × 0.160 = 0.0500 m ✓；② 由時間：t′ = x/v₀′ = 0.400/4.00 = 0.100 s ⇒ y′ = ½ × 10.0 × (0.100)² = 5.00 × 0.0100 = 0.0500 m ✓。
關係說明：同一水平位置處，初速度越大，飛到該處所需時間越短，豎直下落距離按速度平方的倒數減小；軌跡變「更平」。這不是線性減半，而是變為 1/4。
採分點：寫出 y ∝ 1/v₀² 1 分、算出 0.0500 m 1 分、兩路回代各 1 分、關係說明 1 分。

(4) 三項操作的作用　① 原點取小球球心在槽口末端的位置：平拋的起點是球心離開槽口的那一刻，若以槽口下沿或斜槽端點為原點，會引入一個固定的豎直偏移，使 y 與 x² 不再成正比（擬合直線出現截距），算出的 v₀ 系統偏小/偏大。
② 木板（座標紙）豎直、x 軸水平：本實驗的兩個方向必須嚴格對應水平與豎直；木板傾斜會把重力分量混入 x 方向，x 不再是勻速，y/x² 也不會是常數。
③ 每次從斜槽同一位置由靜止釋放：保證每次拋出的初速度大小與方向完全相同，多次描出的點才屬於同一條軌跡；若釋放位置不同，各點來自不同拋物線，根本無法擬合。
補充：斜槽末端切線須水平（可用小球靜止在末端不滾動來檢驗）；描點時讓小球恰好穿過卡片小孔，視線與卡片垂直以減小視差；不必測小球質量，也不必測斜槽高度。
採分點：三項各 2 分（作用＋失真後果），補充要點 1 分。

四、採分點對照

五、高頻易錯點

• 把 y 軸取成向上為正卻仍寫 y = ½gt²，符號混亂；本實驗按向下為正處理最省事。
• 只算一兩個點的 y/x² 就宣佈成正比，五點全算才能排除偶然。
• 由單點求 v₀ 時忘記先由 y 求 t，直接把 x 當 v₀ 或把 t 當成 x/g。
• 初速度加倍時把 y 寫成減半（應為 1/4），漏掉平方關係。
• 把座標原點取在槽口下沿，導致擬合出現非零截距卻不解釋原因。

六、小結與自查清單

• □ 先聲明 y 軸向下為正，寫出 x = v₀t 與 y = ½gt² 兩條原始式。
• □ 把五組 y/x² 全算一遍列成小表，確認是常數再寫軌跡方程。
• □ 求 v₀ 走兩條路（由 k 反解、由單點求 t），並逐點反算 y 互驗。
• □ 檢查 x/t 與 y/t² 是否各自為常數，那是分解正確的雙證據。
• □ 實驗操作三項各寫清「不滿足會往哪邊失真」，並點明原點取球心。

平拋描點題的全部說服力在「兩路互驗」：由 y/x² = 1.25 反解出 v₀ = 2.00 m/s，再由某點的 y 求 t、用 x/t 又得到 2.00 m/s；再用 v₀ 反算五點，逐點都對上。水平方向 x/t 恆定、豎直方向 y/t² 恆定，分解才算真的成立。本題五組座標與初速度均為自編示意數據，不代表真實測量記錄。