題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
隱零點的標準形態：f′(x)=0 解不出，但 x₀ 唯一存在。做題不求解，只做三件事——①用單調性與零點存在定理證唯一並夾區間（如 x₀∈(1,2)）；②把零點方程寫成替換式（如 e^{x₀}=2x₀ 或 ln x₀ = 1−x₀），在最值式裡整體代掉超越項；③把 f(x₀) 化簡成一個不含超越式的表達式，再借區間估計它的範圍。
關鍵紀律：替換式只能來自 f′(x₀)=0，不能自己編；代換後要回代檢驗單調性方向沒變；區間估計用端點函數值異號，別用「大概」。下面三題的函數式與數據均為自編示意，全部做過回代互驗。
二、題目呈現
題1（解答題）
設函數 f(x)=e^x−2x−1。
(1) 證明 f′(x)=0 在 (0,1) 內有且僅有一個實根 x₀；
(2) 不求 x₀ 的值，求 f(x₀) 的精確表達式，並判斷其正負。
題2（解答題）
設 g(x)=x ln x − (3/2)x² + 3x（x>0）。記 g′(x)=0 在 (1,2) 內的根為 t。
(1) 證明 t 存在且唯一；
(2) 用「設而不求」求 g(t) 的化簡式，並證明 g(t)>0。
題3（解答題·含參）
設 h(x)=e^x − a x²（a>0），其極小值點為 x₀，且 h(x₀)=0。
(1) 由 h′(x₀)=0 與 h(x₀)=0 聯立，求 a 與 x₀ 滿足的關係，並求出 a；
(2) 把 a 代回驗證 x₀ 確為極小值點，並寫出 h(x) 的單調區間。
三、分步解析
題1 (1) f′(x)=e^x−2，f″(x)=e^x>0，故 f′ 嚴格遞增，至多一個零點。又 f′(0)=1−2=−1<0，f′(1)=e−2≈0.718>0，由零點存在定理在 (0,1) 內存在零點，記為 x₀；嚴格單調保證唯一。回代：e−2>0 成立。
題1 (2) 由 f′(x₀)=0 得 e^{x₀}=2（替換式）。於是 f(x₀)=e^{x₀}−2x₀−1 = 2−2x₀−1 = 1−2x₀。因 x₀=ln 2≈0.693∈(0,1)，故 1−2x₀≈−0.386<0。也可不求 x₀：由 e^{x₀}=2 且 e^x 遞增，x₀=ln2>1/2（因 e^{1/2}=√e≈1.649<2），故 1−2x₀<0。精確表達式 1−2x₀，符號為負。驗算：直接代 x=ln2，f(ln2)=2−2ln2−1=1−2ln2，與化簡式一致。
題2 (1) g′(x)=ln x + 1 − 3x + 3 = ln x − 3x + 4。記 φ(x)=ln x−3x+4，則 φ′(x)=1/x−3，在 (1,2) 上 φ′(x)≤1−3=−2<0，故 φ 在 (1,2) 上嚴格遞減。又 φ(1)=0−3+4=1>0，φ(2)=ln2−6+4≈0.693−2=−1.307<0，端點異號，由零點存在定理存在 t∈(1,2) 使 φ(t)=0；嚴格遞減保證唯一。回代：φ(1)>0、φ(2)<0 數值均已復算。
題2 (2) 由 g′(t)=0 得 ln t = 3t − 4（替換式）。於是 g(t)= t·ln t − (3/2)t² + 3t = t(3t−4) − (3/2)t² + 3t = 3t² − 4t − 1.5t² + 3t = (3/2)t² − t = t(3t−2)/2。因 t∈(1,2)，3t−2>1>0 且 t>0，故 g(t)>0。回代互驗：數值解 φ(t)=0 得 t≈1.459325，代入 t(3t−2)/2≈1.735118；原式 t ln t −1.5t²+3t ≈ 1.459325×0.378 −3.196 +4.378 ≈ 1.735117，兩者在舍入誤差內一致，且 φ(t)≈0 已複核。
題3 (1) h′(x)=e^x−2ax。由 h′(x₀)=0 得 e^{x₀}=2a x₀；由 h(x₀)=0 得 e^{x₀}=a x₀²。兩式相除（x₀>0，a>0）：2a x₀ = a x₀² ⟹ x₀=2。代回 e²=2a·2 ⟹ a=e²/4。回代：a x₀² = (e²/4)·4 = e²，與 2a x₀ = 2·(e²/4)·2 = e² 一致。
題3 (2) a=e²/4>0，h′(x)=e^x − (e²/2)x。令 ψ(x)=h′(x)，ψ′(x)=e^x−e²/2，ψ′(2)=e²−e²/2=e²/2>0，且 ψ′(x)=0 的根為 x=2−ln2≈1.307；ψ 在該點取極小後遞增，ψ(2)=0，且 ψ(0)=1>0、ψ(1)=e−e²/2≈2.718−3.695<0，故 ψ 在 (0, x₁) 與 (2,+∞) 之外還有一個零點 x₁∈(0,1)。因此 h 在 (0,x₁) 遞增、(x₁,2) 遞減、(2,+∞) 遞增，x=2 是極小值點（注意不是唯一極值點，但滿足題設「極小值點為 x₀=2」）。驗算：h(2)=e²−(e²/4)·4=0，與題設一致。
四、採分點對照
| 題號 | 答案 | 採分點構成 |
|---|---|---|
| 題1 (1) | 唯一根 x₀∈(0,1) | 求導 1 分；用 f″>0 證 f′ 嚴格單調 1 分；端點異號 1 分；唯一性結論 1 分 |
| 題1 (2) | f(x₀)=1−2x₀<0 | 寫出替換式 e^{x₀}=2 得 2 分；整體代入化簡 1 分；不用解值判符號 1 分；回代驗算 1 分 |
| 題2 (1) | 唯一根 t∈(1,2) | 求導 1 分；由 φ′<0 證嚴格遞減 1 分；φ(1)>0、φ(2)<0 各 1 分；唯一性結論 1 分 |
| 題2 (2) | g(t)=t(3t−2)/2>0 | 寫出 ln t=3t−4 得 2 分；代換化簡 1 分；由區間判正 1 分；數值回代互驗 1 分 |
| 題3 (1) | x₀=2，a=e²/4 | 列出兩個條件式各 1 分；相除解出 x₀ 2 分；回代求 a 1 分；驗算一致性 1 分 |
| 題3 (2) | 極小值點確為 2 | ψ′ 分析 1 分；指出存在另一零點 x₁ 1 分；寫出單調區間 1 分；h(2)=0 回代 1 分 |
五、高頻易錯點
- 硬解 f′(x)=0：含 e^x 與多項式混合的方程一般解不出，硬解就走死衚衕。
- 把替換式記錯：必須嚴格來自 f′(x₀)=0，寫成 e^{x₀}=x₀ 之類會讓後面全錯。
- 代換後不回代驗算，化簡錯了也看不出來。
- 區間估計只寫「大概在 1 和 2 之間」，不給端點異號的計算依據。
- 題3 以為「極小值點唯一」就是「只有一個極值點」，漏掉 (0,1) 內的另一個零點。
六、小結與自查清單
| 零點方程形態 | 替換式 | 代換後的效果 | 自編例題 |
|---|---|---|---|
| e^{x₀}=常數 | 直接把 e^{x₀} 換成常數 | f(x₀) 降為一次式 | 題1：e^{x₀}=2 → 1−2x₀ |
| ln x₀ = 多項式 | 把 ln x₀ 整體換掉 | g(t) 降為二次式 | 題2：ln t=3t−4 → t(3t−2)/2 |
| 兩條件聯立 | 相除消去超越項 | 先解出 x₀ 再求參數 | 題3：x₀=2，a=e²/4 |
- □ 先用 f″ 或單調性證明零點唯一，再用端點異號夾區間。
- □ 把 f′(x₀)=0 單獨抄一行當替換式，後面每一步都指著它用。
- □ 代換後把 f(x₀) 化到不含超越式為止，再判斷符號或範圍。
- □ 所有化簡結果都回代原式驗一遍，數值題另做一次近似互算。
- □ 區間估計寫出端點函數值的具體數值，不用「顯然」「大概」。
隱零點考的不是解方程，是承認解不出之後還能不能往下推：零點方程給替換式，替換式把超越項消掉，區間端點把範圍夾住。三步裡最容易被跳過的是「證唯一」和「回代驗算」，而它們恰恰是答案能不能站住的地方。本組三題的函數式與數據均經回代互驗，數值自洽。本組函數式、數據與解析均為原創自編仿真內容。
