題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
四條橋樑式要能隨手互換：① AB·AC = |AB||AC|cosA = cb cosA（注意 |AB| = c、|AC| = b，別接反）；② a² = b² + c² − 2bc cosA；③ S = ½bc sinA；④ 邊角互化用正弦定理 a/sinA = b/sinB = c/sinC，配合 sin(A+C) = sinB（因為 A+B+C = π）。
兩條常見路徑：向量 → 餘弦定理（由點積得 cosA，再求 a）；邊角混合式 → 化角（把邊全換成 sin，再用和角公式合併，最後利用 sinB ≠ 0 約去）。做題務必做一次座標法或數值回代，因為把 |AB| 與 |AC| 接反是最隱蔽的錯誤。下面邊長、角度與向量數值均為自編並逐處回代。
二、題目呈現
題1
在 △ABC 中，已知 |AB| = 2，|AC| = 3，向量 AB 與 AC 的數量積 AB·AC = 3。
(1) 求角 A 與邊 a（即 |BC|）；
(2) 求 △ABC 的面積 S；
(3) 建立座標系用座標法驗證 (1)(2) 的結果。
題2
在 △ABC 中，角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c，且滿足 (2b − c)cosA = a cosC。求角 A 的大小。
題3（單選）
在 △ABC 中，若 AB·AC = 3，|AB| = 2，|AC| = 3，則 |BC| 等於（ ）
A. √5 B. √7 C. 3 D. √13
三、分步解析
題1 (1) 由數量積定義 AB·AC = |AB||AC|cosA = 2 × 3 × cosA = 6cosA。題給 AB·AC = 3，故 cosA = 3/6 = 1/2，A ∈ (0, π) ⇒ A = 60°。
由余弦定理（注意 |AB| = c = 2、|AC| = b = 3）：
a² = b² + c² − 2bc cosA = 9 + 4 − 2 × 3 × 2 × (1/2) = 13 − 6 = 7，故 a = √7。
採分點：寫出數量積定義 1 分、求 cosA 1 分、定 A 1 分、正確對應 b/c 1 分、餘弦定理求 a 2 分。
題1 (2) S = ½ bc sinA = ½ × 3 × 2 × sin60° = 3 × (√3/2) = 3√3/2。
也可用數量積與模長關係互驗：由 |AB × AC|² = |AB|²|AC|² − (AB·AC)² = 4 × 9 − 9 = 27，故平行四邊形面積 = √27 = 3√3，三角形面積為其一半 = 3√3/2 ✓，與面積公式一致。
題1 (3) 座標法驗算：置 A 於原點，令 AB 沿 x 軸，則 B(2, 0)。由 |AC| = 3、A = 60° 得 C(3cos60°, 3sin60°) = (3/2, 3√3/2)。
① 數量積：AB·AC = (2,0)·(3/2, 3√3/2) = 2 × 3/2 + 0 = 3 ✓ 與題給一致。
② 邊長：|BC|² = (3/2 − 2)² + (3√3/2 − 0)² = (−1/2)² + 27/4 = 1/4 + 27/4 = 28/4 = 7 ⇒ |BC| = √7 ✓。
③ 面積：S = ½|x_B y_C − y_B x_C| = ½ |2 × 3√3/2 − 0| = 3√3/2 ✓。
三條全部與 (1)(2) 吻合，說明 b、c 未接反、cosA 與座標設定自洽。
題2 化角為純角關係：由正弦定理把邊換成角（a = 2R sinA、b = 2R sinB、c = 2R sinC，2R 可約去）：
(2 sinB − sinC) cosA = sinA cosC。
展開：2 sinB cosA − sinC cosA = sinA cosC ⇒ 2 sinB cosA = sinA cosC + sinC cosA。
右邊正是兩角和的正弦：sinA cosC + cosA sinC = sin(A + C)。又 A + B + C = π ⇒ A + C = π − B ⇒ sin(A + C) = sinB。
於是 2 sinB cosA = sinB。因 B ∈ (0, π)，sinB > 0，可約去，得 2cosA = 1 ⇒ cosA = 1/2 ⇒ A = 60°。
數值回代驗算：取等邊三角形 a = b = c = 2，則左邊 (2b − c)cosA = (4 − 2) × 1/2 = 1，右邊 a cosC = 2 × 1/2 = 1 ✓ 等式成立，且 A = 60°。再取 A = 90°（cosA = 0）檢驗：左邊 = 0，右邊 = a cosC > 0（銳角 C），不成立 ✓，排除其他解。
採分點：正弦定理化邊 2 分、和角公式合併 2 分、利用 A+C = π−B 1 分、說明 sinB ≠ 0 可約 1 分、結論 1 分、回代 1 分。
題3 由題1 (1) 已得 cosA = 1/2，a = √7，故選 B。
直接路徑：|BC|² = |AC − AB|² = |AC|² + |AB|² − 2 AB·AC = 9 + 4 − 2 × 3 = 13 − 6 = 7 ⇒ |BC| = √7 ✓。
快捷公式：|BC|² = b² + c² − 2 AB·AC（因為 2bc cosA 正好就是 2 AB·AC），一步可得，不必先求角。
干擾項來源：A 項 √5 是把 2 AB·AC 誤算成 2×4；C 項 3 是直接取了 |AC|；D 項 √13 是漏減數量積項（只算了 9+4）。故答案為 B。
橋樑小結 本題組三題用的是同一組橋樑：題1 由 AB·AC → cosA → a → S 一路正推，再用座標法三條回代；題2 由正弦定理化邊 + 和角公式把混合式壓成 cosA；題3 直接利用 2bc cosA = 2 AB·AC 跳過求角。三題的答案 A = 60°、a = √7、S = 3√3/2 可以互相印證。
四、採分點對照
| 題號 | 答案 | 採分點構成 |
|---|---|---|
| 題1 (1) | A=60°，a=√7 | 數量積定義 1 分；cosA 1 分；定角 1 分；b/c 對應 1 分；餘弦定理 2 分 |
| 題1 (2) | S=3√3/2 | 面積公式 2 分；向量模長互驗 2 分 |
| 題1 (3) | 座標法三條驗算 | 建系與座標 2 分；點積 1 分；|BC| 1 分；面積 1 分；結論 1 分 |
| 題2 | A=60° | 化邊 2 分；和角合併 2 分；A+C=π−B 1 分；sinB>0 1 分；結論回代 2 分 |
| 題3 | B（√7） | 寫出 |BC|² 公式 2 分；代入 1 分；排除干擾 1 分 |
五、高頻易錯點
- 把 |AB| 與 |AC| 接反：誤寫成 |AB| = b、|AC| = c，導致餘弦定理裡 b、c 數值對調（本題恰好 9+4 對稱，錯也看不出，必須用座標法驗）。
- 題2 化邊後忘記合併 sinA cosC + sinC cosA = sin(A+C)，或忘記 A+C = π−B。
- 題2 約去 sinB 時不說明 sinB > 0，邏輯不完整。
- 題3 把 |BC|² 寫成 b² + c² − AB·AC（漏係數 2），得 13 − 3 = 10。
- 求出 cosA 後不寫 A ∈ (0, π) 的範圍限定，或多寫一個 300° 之類的解。
六、小結與自查清單
| 橋樑式 | 用途 | 本題落點 |
|---|---|---|
| AB·AC = bc cosA | 由點積求角；或反求點積 | 題1：3 = 6cosA ⇒ A=60° |
| a² = b²+c²−2bc cosA | 由角與兩邊求第三邊 | 題1：a=√7 |
| S = ½bc sinA | 面積 | 題1：3√3/2 |
| a=2R sinA 等 + 和角公式 | 邊角混合式化角 | 題2：2sinB cosA = sinB |
| |BC|² = b²+c²−2 AB·AC | 跳過求角直接算第三邊 | 題3：13−6=7 |
- □ 先寫清 |AB| = c、|AC| = b，再代入數量積與餘弦定理。
- □ 邊角混合式一律先用正弦定理化邊為角，再找和角公式。
- □ 約去 sinB 前寫明 B ∈ (0,π) ⇒ sinB > 0。
- □ 用座標法或數值回代驗一遍點積、邊長、面積三項，防 b/c 接反。
- □ 求角後寫明取值範圍，排除多餘解。
向量與解三角形的接口只有一句話：AB·AC = bc cosA，而 2bc cosA 正好是餘弦定理裡被減掉的那一項。抓住這個，題1 能一路正推、題3 能跳過求角、題2 能把邊角混合式壓成 cosA。再用座標法把點積、邊長、面積三條各回代一次，b、c 有沒有接反立刻現形。本組邊長、角度與向量數值均為原創自編，並逐處回代。
