聯招數學·解三角形：面積的最值與取值範圍

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

三條起步式要隨手能用：S = ½bc sinA（面積）、a² = b² + c² − 2bc cosA（餘弦定理）、b² + c² ≥ 2bc（基本不等式，取等 b = c）。把餘弦定理代進面積式，最值問題就變成「求 bc 的界」——這是本組三題共用的骨架。

四個不能跳的步驟：①統一到 bc；②用約束求 bc 的上界或範圍；③寫出取等條件 b = c；④回代驗三角形是否存在（等號成立時三邊能否構成三角形、角是否對得上）。第 ④ 步最常被漏，也是「算出了範圍卻取不到端點」的根源。下面邊長與角度均為自編並逐處回代。

二、題目呈現

題1

在 △ABC 中，a = 2，A = 60°。求 △ABC 面積 S 的最大值，並求出取最大值時的 b、c。

題2

在 △ABC 中，b + c = 4，A = 60°。求面積 S 的取值範圍，並說明端點能否取到。

題3（單選）

在 △ABC 中，a = 2，A = 60°，則 b + c 的最大值為（　）

A. 2　B. 2√3　C. 4　D. 4√3

三、分步解析

題1　解法一（餘弦定理 + 基本不等式）：由 a² = b² + c² − 2bc cos60° 得 4 = b² + c² − bc。又 b² + c² ≥ 2bc，故 4 ≥ 2bc − bc = bc，即 bc ≤ 4。
S = ½ bc sin60° = ½ · bc · (√3/2) = (√3/4) bc ≤ (√3/4) × 4 = √3。
取等條件：b² + c² = 2bc ⇒ b = c；代回 4 = 2b² − b² = b² ⇒ b = c = 2。
存在性回代驗算：a = 2、b = c = 2、A = 60° 代入餘弦定理 a² = 4 + 4 − 2·2·2·(1/2) = 8 − 4 = 4 ✓；此時三角形為邊長 2 的等邊三角形，面積 = (√3/4)·2² = √3 ✓，與最值一致。
解法二（正弦定理互驗）：b + c = (a/sinA)(sinB + sinC)，B + C = 120°，故 sinB + sinC = 2 sin60° cos((B−C)/2) = √3 cos((B−C)/2) ≤ √3，等號 B = C = 60°；此時 b = c = a = 2，S = √3 ✓。兩法一致。

題2　由 b + c = 4 與基本不等式：bc ≤ ((b+c)/2)² = 4，取等 b = c = 2。故 S = (√3/4) bc ≤ √3，上界可取到（b = c = 2，此時由余弦定理 a² = 4 + 4 − 4 = 4 ⇒ a = 2，等邊三角形，存在 ✓）。
下界要查三角形存在性：由余弦定理 a² = b² + c² − bc = (b+c)² − 3bc = 16 − 3bc。三角形要求 |b − c| < a < b + c：
① a < b + c = 4 ⇒ 16 − 3bc < 16 ⇒ bc > 0 ✓（恆成立）；
② |b − c| < a ⇒ (b−c)² < a² = 16 − 3bc；而 (b−c)² = (b+c)² − 4bc = 16 − 4bc，代入得 16 − 4bc < 16 − 3bc ⇒ −4bc < −3bc ⇒ bc > 0 ✓（恆成立）。
故只要 b、c > 0 且 b + c = 4，三角形始終存在，bc 可無限趨近於 0（b → 0⁺ 或 c → 0⁺），但不能等於 0（邊長鬚為正，且 bc = 0 時 a = 4 = b + c 退化為線段）。
所以 S 的取值範圍為 (0, √3]，左端點取不到、右端點可取到。
數值回代驗算：取 b = c = 2 ⇒ S = √3 ✓（上端點）；取 b = 0.4、c = 3.6 ⇒ bc = 1.44，a² = 16 − 4.32 = 11.68 ⇒ a ≈ 3.42，檢驗 |b−c| = 3.2 < 3.42 < 4 ✓，S = (√3/4)×1.44 ≈ 0.624 > 0 ✓，落在開區間內。

題3　由正弦定理 b + c = (a/sinA)(sinB + sinC)。a/sinA = 2/(√3/2) = 4/√3。
B + C = 120°，故 sinB + sinC = 2 sin((B+C)/2) cos((B−C)/2) = 2 sin60° cos((B−C)/2) = √3 cos((B−C)/2) ≤ √3，等號在 B = C = 60° 時取到。
故 b + c ≤ (4/√3) × √3 = 4，選 C。
取等回代驗算：B = C = 60° 時三角形等邊，b = c = a = 2，b + c = 4 ✓；代回題1 的結論也一致（此時 bc = 4、S = √3）。
另一路互驗（餘弦定理）：由 4 = b² + c² − bc，令 s = b + c，則 b² + c² = s² − 2bc，代入得 4 = s² − 3bc ⇒ bc = (s² − 4)/3。又 bc ≤ s²/4 ⇒ (s² − 4)/3 ≤ s²/4 ⇒ 4s² − 16 ≤ 3s² ⇒ s² ≤ 16 ⇒ s ≤ 4 ✓，兩法一致。

三題關係小結　題1 是定邊定角（a、A 固定）求 bc 上界；題2 是定兩邊和（b+c、A 固定）求範圍，多了一步「端點能否取到」的存在性檢驗；題3 是定邊定角求兩邊和，用正弦定理把角變量收進 cos((B−C)/2)。三題取等全落在 b = c（等邊），因此三處數值 √3、4、2 能互相印證。

四、採分點對照

五、高頻易錯點

• 由 a² = b² + c² − bc 直接寫成 bc ≤ 4 卻不說用了 b²+c² ≥ 2bc，跳步丟分。
• 求出 bc 上界後不驗證取等時三角形是否存在（題2 的左端點正是被這一步攔住的）。
• 題2 把範圍寫成 [0, √3]：bc = 0 時 a = b + c 退化，邊長也不能為零，左端點必須開。
• 正弦定理一路把 sinB + sinC 誤寫成 2 sin60°（漏 cos((B−C)/2)），或忘記 B+C = 120°。
• 題3 選 B（2√3）：把 a/sinA = 4/√3 與 √3 相乘時算錯，或誤把 b+c 當成 a。

六、小結與自查清單

• □ 先把餘弦定理寫成含 bc 的形式，再用 b²+c² ≥ 2bc 定上界。
• □ 面積一律用 S = ½bc sinA，別臨時換成底乘高再繞回來。
• □ 寫出取等條件 b = c，並代回餘弦定理驗證三邊與角自洽。
• □ 求範圍時單獨檢驗兩條三角形不等式，確定端點開閉。
• □ 角變量一路用 B+C = 180° − A 與和差化積，最後用另一路互驗。

面積最值題的骨架很固定：餘弦定理把已知邊角擠成 bc 的約束，基本不等式給出 bc 的界，S = ½bc sinA 把界翻譯成面積。真正拉開差距的是最後兩下——寫出取等條件、回代驗證三角形真的存在；題2 左端點為什麼開，就藏在這一步裡。本組邊長、角度與範圍均為原創自編，並做了兩法互驗。