題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
一條主公式：R = ρL/S，其中 S = πd²/4，故 ρ = RS/L = πd²R/(4L)。三個直接測量量裡，d 是平方項，它的相對誤差會以 2Δd/d 傳遞到 ρ，所以直徑要多次測量取平均、且要用螺旋測微器而不是遊標卡尺；L 是接入電路有效長度（兩接線點之間），不是電阻絲全長。
伏安法接法判斷用相對比較法：待測電阻 Rx 與 RA（電流表內阻）、RV（電壓表內阻）比。若 Rx ≪ RV 而與 RA 可比，電流表外接（電壓表分流可忽略）；若 Rx ≫ RA，內接（電流表分壓可忽略）。下面器材參數與數據為自編示意數值，且做了閉合回代，不代表真實測量記錄。
二、題目呈現
題目
用伏安法測一段均勻電阻絲的電阻率。自編示意數據如下：螺旋測微器測得電阻絲直徑 d = 0.400 mm；接入電路的有效長度 L = 50.0 cm；電壓表讀數 U = 2.50 V、電流表讀數 I = 0.500 A；電流表內阻 RA = 0.50 Ω，電壓表內阻 RV = 3.00 kΩ。取 π = 3.14。
(1) 由 U、I 求電阻絲電阻 R，計算橫截面積 S 與電阻率 ρ，並回代驗算；
(2) 判斷本實驗應採用電流表內接還是外接，給出定量依據，並說明另一種接法會帶來多大的系統偏差；
(3) 若直徑測量值偏大 1.0%，求 ρ 的相對誤差；若把該電阻絲均勻拉長到原長的 2 倍（體積不變、材料不變），求拉長後的電阻 R′ 與電阻率 ρ′。
補充問
(4) 說明為什麼長度 L 必須量「接入電路的有效長度」，以及為什麼直徑要在多處、多方向各測一次取平均。
三、分步解析
(1) 求 ρ R = U/I = 2.50 / 0.500 = 5.00 Ω。
d = 0.400 mm = 4.00×10⁻⁴ m；S = πd²/4 = 3.14 × (4.00×10⁻⁴)² / 4 = 3.14 × 1.60×10⁻⁷ / 4 = 1.256×10⁻⁷ m²。
ρ = RS/L = 5.00 × 1.256×10⁻⁷ / 0.500 = 1.256×10⁻⁶ Ω·m ≈ 1.26×10⁻⁶ Ω·m。
回代驗算：R = ρL/S = (1.256×10⁻⁶ × 0.500)/(1.256×10⁻⁷) = 5.00 Ω ✓；再用合併式 ρ = πd²R/(4L) = 3.14 × 1.60×10⁻⁷ × 5.00 / (4 × 0.500) = 2.512×10⁻⁶/2.00 = 1.256×10⁻⁶ Ω·m ✓，兩式一致。
採分點：R=U/I 1 分、單位換算 1 分、S=πd²/4 1 分、ρ=RS/L 2 分、數值與單位 1 分、回代 1 分。
(2) 接法判斷 應採用電流表外接法（電壓表直接並在電阻絲兩端，電流表放在幹路）。定量依據：
① 外接時電壓表分流比 ≈ Rx/RV = 5.00 / 3000 ≈ 0.17%，即電流表讀數中只有約 0.17% 來自電壓表支路，可忽略；
② 內接時電流表分壓比 ≈ RA/Rx = 0.50 / 5.00 = 10%，測得的「電阻」實為 Rx + RA = 5.50 Ω，比真值偏大 10%。
兩者相差近 60 倍，故外接遠優於內接。另一接法的系統偏差：內接使 R測 = 5.50 Ω，進而 ρ測 = 5.50 × 1.256×10⁻⁷ / 0.500 = 1.382×10⁻⁶ Ω·m，偏大 10%（ρ 與 R 成正比，相對誤差相同）。
採分點：寫出判斷 1 分、兩個比值各 1 分、說明偏大方向 1 分、算出 10% 偏差 1 分。
(3) 誤差傳遞與拉長 直徑誤差：由 ρ = πd²R/(4L) 知 ρ ∝ d²，故 Δρ/ρ = 2·Δd/d = 2 × 1.0% = +2.0%（直徑偏大 ⇒ ρ 偏大 2.0%）。同理若 L 偏大 1% 則 ρ 偏小 1%，若 R 偏大 1% 則 ρ 偏大 1%——只有 d 的係數是 2，這就是必須精測直徑的原因。
拉長後：體積不變 V = SL = S′L′，L′ = 2L ⇒ S′ = S/2。材料不變 ⇒ ρ′ = ρ = 1.256×10⁻⁶ Ω·m。
R′ = ρL′/S′ = ρ·(2L)/(S/2) = 4ρL/S = 4R = 20.0 Ω。
回代驗算：R′ = 1.256×10⁻⁶ × 1.000 / (6.28×10⁻⁸) = 20.0 Ω ✓；且 R′/R = 4 = (L′/L)² 與「體積不變時 R ∝ L²」一致 ✓。
採分點：寫出 ρ∝d² 1 分、2.0% 結論 1 分、說明 ρ′ 不變 1 分、S′=S/2 1 分、R′=4R 2 分、回代 1 分。
(4) 操作理由 有效長度：R = ρL/S 中的 L 是電流實際流過的那段電阻絲長度，即兩個接線點（夾子／接線柱）之間的距離；若量了整根絲的全長，把未接入、被夾在夾具裡或懸空的部分也算進去，會使 L 偏大、算出的 ρ 偏小。多測直徑：① 電阻絲未必處處等粗，可能存在橢圓或局部粗細不均，多處、多方向（互相垂直的兩個方向）測量取平均可減小偶然誤差並抵消橢圓度；② 由 (3) 知 d 的相對誤差在 ρ 中被放大 2 倍，因此直徑是三個量裡最值得重複測的那個。
採分點：L 的物理含義 1 分、量錯方向 1 分、多處多方向 1 分、平方放大呼應 1 分。
四、採分點對照
| 小問 | 答案 | 採分點構成 |
|---|---|---|
| (1) | R=5.00 Ω；S=1.256×10⁻⁷ m²；ρ≈1.26×10⁻⁶ Ω·m | 原始公式 2 分；單位換算 1 分；S 1 分；數值 1 分；兩種回代各 1 分 |
| (2) | 外接；0.17% vs 10%；內接使 ρ 偏大 10% | 判斷 1 分；兩個比值各 1 分；偏大方向 1 分；偏差數值 1 分 |
| (3) | +2.0%；ρ′=ρ；R′=20.0 Ω | 誤差係數 2 1 分；2.0% 1 分；ρ 不變 1 分；S′=S/2 1 分；4R 1 分；回代 1 分 |
| (4) | 有效長度與多測直徑的理由 | L 含義 1 分；量錯後果 1 分；多方向 1 分；平方放大呼應 1 分 |
五、高頻易錯點
- 把 d = 0.400 mm 直接代入 0.400 而不換成米，S 與 ρ 會錯好幾個數量級。
- 把 S 寫成 πd²（漏 /4）或用 πr² 卻把 d 當 r 代入。
- 把電阻絲全長當有效長度 L，或把內接法測得的 R_x+R_A 直接當 R 去算 ρ。
- 誤差傳遞寫成 Δρ/ρ = Δd/d（漏掉平方的係數 2）。
- 拉長題誤答「ρ 變大」——電阻率是材料屬性，溫度與材料不變就不變；或把 R′ 算成 2R 而不是 4R（漏掉 S′=S/2）。
六、小結與自查清單
| 量 | 關係式 | 本題數值 |
|---|---|---|
| 電阻 | R = U/I | 5.00 Ω |
| 截面積 | S = πd²/4 | 1.256×10⁻⁷ m² |
| 電阻率 | ρ = RS/L = πd²R/(4L) | 1.26×10⁻⁶ Ω·m |
| 接法判據 | 比 R_x/R_V 與 R_A/R_x | 0.17% ≪ 10% ⇒ 外接 |
| 誤差傳遞 | Δρ/ρ = 2Δd/d + ΔR/R − ΔL/L | d 偏大 1% ⇒ ρ 偏大 2% |
| 拉長（體積不變） | R ∝ L²，ρ 不變 | R′=4R=20.0 Ω |
- □ 先把 mm、cm 換成 m，再寫 S = πd²/4 與 ρ = RS/L 的原始公式。
- □ 用 R = ρL/S 或合併式各回代一次，確認 ρ 的數值閉環。
- □ 接法判斷給出兩個相對比值，不靠「大電阻內接」的口訣硬套。
- □ 誤差題明確哪個量帶平方係數，寫清偏大還是偏小。
- □ 拉長題先由體積不變得 S′，再算 R′；牢記 ρ 只由材料與溫度決定。
測電阻率把「測三個量、算一個量」的實驗邏輯壓得很清楚：d 因為帶平方而最嬌貴，L 因為要取有效段而最容易量錯，R 因為接法不同會帶進 10% 的系統偏差。把三條各回代一次，答案自己就站得住了。本題器材參數、讀數與結果均為自編示意數據，不代表真實測量記錄。
