題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
裝置：斜槽末端水平，入射球 m₁ 從斜槽滾下，不放被碰球時落在 P；放上被碰球 m₂（靜止於支柱）後，碰後 m₁ 落在 M、m₂ 落在 N。O 為拋出點在紙上的豎直投影，測 OP、OM、ON。
核心推導：碰前後各球都從同一高度做平拋，飛行時間 t 相同，故 v = x/t。動量守恆 m₁v₀ = m₁v₁ + m₂v₂ 兩邊同乘 t 得 m₁·OP = m₁·OM + m₂·ON——不用測時間、不用測速度，只量水平位移。這是本題最大的採分點。下面數據為自編。
二、題目呈現
題設（自編）
用平拋法驗證動量守恆。測得 m₁ = 0.020 kg、m₂ = 0.010 kg；在白紙上確定 O 點後，用圓規畫出各落點的最小圓，取圓心得：OP = 29.5 cm、OM = 10.0 cm、ON = 39.0 cm（均已換算為從 O 起算的水平距離）。
(1) 寫出實驗原理，說明為什麼可以把動量守恆式寫成 m₁·OP = m₁·OM + m₂·ON，並指出 t 為什麼能約掉。
(2) 代入數據檢驗動量是否守恆，計算相對偏差並判斷是否在誤差允許範圍內。
(3) 寫出本實驗對兩球質量與半徑的要求，並說明為什麼必須滿足；說明斜槽末端為什麼要調水平、入射球為什麼每次從同一位置由靜止釋放。
(4) 指出下列操作的影響：① 被碰球支架略高，使碰後兩球拋出高度不同；② 用落點的最小圓中心而非某一次落點；③ 入射球質量小於被碰球；④ 斜槽末端不水平。
三、分步解析
(1) 原理 碰前：m₁ 從斜槽滾下以 v₀ 從末端水平飛出，落點 P，OP = v₀t。碰後：m₁ 以 v₁ 飛出落 M（OM = v₁t），m₂ 以 v₂ 飛出落 N（ON = v₂t）。三球（三種情形）均從同一高度做平拋，豎直方向 h = ½gt² 相同，故飛行時間 t = √(2h/g) 完全相同。動量守恆 m₁v₀ = m₁v₁ + m₂v₂ 兩邊乘 t：
m₁(v₀t) = m₁(v₁t) + m₂(v₂t) → m₁·OP = m₁·OM + m₂·ON。
因此只需測三個水平位移與兩球質量，不必測時間也不必測速度；t 能約掉的前提是「拋出點高度相同且初速度水平」。答題必須寫出 h 相同 → t 相同這一步，只背公式不給滿分。
(2) 檢驗 左邊（碰前）：m₁·OP = 0.020 × 29.5 = 0.590 kg·cm。右邊（碰後）：m₁·OM + m₂·ON = 0.020×10.0 + 0.010×39.0 = 0.200 + 0.390 = 0.590 kg·cm。
兩者相等，相對偏差 = |0.590 − 0.590| / 0.590 = 0%（在自編數據下完全吻合；實際實驗中落點離散、讀數與摩擦會帶來百分之幾的偏差，一般 ≤5% 即認為在誤差允許範圍內驗證成立）。
速度回驗（取 t 約 0.30 s 量級僅作示意）：v₀ = OP/t、v₁ = OM/t、v₂ = ON/t，數值上 m₁v₀ = m₁v₁ + m₂v₂ 與位移式等價 ✓。另可核動能：碰前 ∝ m₁OP² = 0.020×870.25 = 17.41，碰後 ∝ 0.020×100 + 0.010×1521 = 2.00 + 15.21 = 17.21，略小（約 1.1%），說明這是近似彈性碰撞、有微小動能損失，但動量仍守恆——動量守恆不要求動能守恆，這一點常被追問。
(3) 條件 質量：必須 m₁ > m₂（入射球質量大於被碰球）。理由：若 m₁ < m₂，一維彈性碰撞後入射球會反彈向後，落點落在 O 點左側甚至撞回斜槽，OM 不再是正向水平位移，表達式與測量都失效；m₁ > m₂ 可保證碰後 m₁ 仍向前運動。半徑：兩球半徑應相等（或至少使球心等高），保證碰撞為對心正碰、碰後速度均沿水平方向，且兩球從同一高度拋出（否則 t 不同，t 約不掉）。斜槽末端水平：保證球離開時初速度水平，做真正的平拋；若末端上翹或下傾，初速度有豎直分量，h 與 t 不再由同一公式給出，OP、OM、ON 不再正比於水平速度。同一位置由靜止釋放：保證每次碰前速度 v₀ 相同，使 P 點可重複、多次落點能取平均圓心；否則各次 v₀ 不同，落點散亂無法定 P。
(4) 誤差逐項 ① 支架略高使拋出高度不同：兩球飛行時間 t₁ ≠ t₂，位移不再與速度成同一比例，m₁·OP = m₁·OM + m₂·ON 的前提被破壞，檢驗式本身失效——屬方案性錯誤，不是普通讀數誤差。② 用最小圓中心取落點：多次落點有離散，取最小包容圓的圓心相當於取平均落點，減小偶然誤差，是正確做法；若只取某一次落點，隨機偏差會直接代入。③ m₁ < m₂：入射球碰後反彈，OM 方向反了甚至測不到，表達式失效（見(3)），屬條件錯誤。④ 末端不水平：初速度帶豎直分量，不再共用一個 t，且水平位移與水平初速度的比例失真，動量檢驗式不成立；同時落點系統性偏移，屬方案性錯誤。
守恆回驗 把位移式除以 t 復原為速度式：m₁(OP/t) = m₁(OM/t) + m₂(ON/t)，與動量守恆原式逐項對應 ✓；再用自編數據反推若動量守恆成立，ON 應為 (m₁OP − m₁OM)/m₂ = (0.590−0.200)/0.010 = 39.0 cm，與實測 ON = 39.0 cm 一致 ✓。兩端閉合，說明落點命名（P 碰前、M 碰後入射球、N 碰後被碰球）沒有對錯。
四、採分點對照
| 設問 | 答案要點 | 採分點 |
|---|---|---|
| (1) 原理 | h 同 → t 同 → 兩邊乘 t 得位移式 | 平拋時間相同 2 分；v=x/t 1 分；推導 2 分；「不必測 t/速度」1 分 |
| (2) | 左右皆 0.590 kg·cm，偏差 0%，成立 | 兩邊計算各 2 分；偏差 1 分；「誤差允許範圍內」1 分；動能補充 1 分 |
| (3) 質量 | m₁>m₂，防反彈 | 條件 1 分；反彈理由 2 分 |
| (3) 半徑/水平/同位 | 等半徑對心、末端水平、同位靜止釋放 | 三條各 2 分（條件+理由） |
| (4) ① | 高度不同 → t 不同 → 檢驗式失效 | 判定 1 分；前提破壞 2 分 |
| (4) ② | 最小圓中心減小偶然誤差 | 判定 1 分；理由 1 分 |
| (4) ③④ | 反彈 / 末端不水平均破壞前提 | 各 2 分 |
五、高頻易錯點
- 把落點命名弄反：P 是「不放被碰球」時入射球的落點，M 是「碰後入射球」，N 是「碰後被碰球」。
- 推導只背 m₁OP=m₁OM+m₂ON，不寫「同高度 → t 相同」這一步，原理分被扣。
- 忘記 t 能約掉的前提是兩球拋出高度相同、初速度水平。
- 認為動量守恆要求動能也守恆：本題動能略減仍屬動量守恆。
- m₁ < m₂ 卻照常測 OM，不知道入射球會反彈。
- 兩球半徑不等，碰撞非對心、拋出高度不同，仍用同一 t。
- 斜槽末端不水平或釋放位置不固定，只歸為「讀數誤差」而不判方案錯誤。
- 只取一次落點，不用最小圓中心，偶然誤差被直接帶入。
六、小結與自查清單
| 要點 | 正確要求 | 破壞後果 |
|---|---|---|
| 落點 | P 碰前、M 碰後 m₁、N 碰後 m₂ | 命名反了則表達式錯配 |
| 時間 | 同高度平拋 → t 相同 | t 不同則位移式失效 |
| 質量 | m₁ > m₂ | 入射球反彈 |
| 半徑 | 相等、球心等高 | 非對心、高度不同 |
| 末端 | 嚴格水平 | 初速帶豎直分量 |
| 落點取值 | 最小圓圓心（平均） | 單次落點偶然誤差大 |
- □ 先寫「h 相同 → t=√(2h/g) 相同 → v=x/t」，再推位移式。
- □ 三個落點命名逐一核對，別把 P 與 M 對調。
- □ 檢驗式兩邊分別算，給出偏差與「誤差允許範圍內」。
- □ 條件題寫「要求 + 為什麼」，尤其 m₁>m₂ 防反彈。
- □ 區分「動量守恆」與「動能守恆」，不混答。
- □ 誤差題先判「方案性錯誤」還是「偶然誤差」。
- □ 結果回代反推一個位移（如 ON），確認落點沒對錯。
平拋法最漂亮的一步，是把「測速度」換成「量長度」：同高度給出同一個 t，動量守恆兩邊一乘 t 就成了 m₁·OP = m₁·OM + m₂·ON。所有條件題其實都在守這個前提——高度相同、初速水平、不反彈。把「為什麼 t 能約掉」寫透，其餘各問都是它的註腳。本組數據、裝置與結論均為原創自編仿真內容。
