聯招數學·解三角形：餘弦定理與三角形形狀判定

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

兩條路要會同時走：化邊——用餘弦定理 cosA = (b²+c²−a²)/(2bc)、cosB、cosC 把角換成邊的關係；化角——用正弦定理 a=2R sinA 等把邊換成角的正弦，再用三角恆等變換化簡。哪邊簡單走哪邊，另一條用來驗。

判定結論只有幾類：等腰（兩邊相等/兩角相等）、直角（勾股或某角 90°）、等邊、等腰直角、鈍角/銳角。最容易錯的是「由 sin2A = sin2B 只推出 A=B」，漏掉 A+B=90° 的直角情形。下面三題均為自編題，數值自擬。

二、題目呈現

題1（自編）

在 △ABC 中，a = 7，b = 5，c = 3。判斷三角形的形狀（按角分類），並求最大角的大小。

題2（自編）

在 △ABC 中，滿足 (a + b + c)(a + b − c) = 3ab。判斷 △ABC 的形狀，並求角 C。

題3（自編）

在 △ABC 中，已知 sin2A = sin2B。某同學據此直接得出「△ABC 是等腰三角形」。請判斷該結論是否完整，給出全部可能情形並說明理由；若再附加條件 a ≠ b，形狀又是什麼？

三、分步解析

題1　最大邊 a=7 對最大角 A。由余弦定理：
cosA = (b² + c² − a²)/(2bc) = (25 + 9 − 49)/(2×5×3) = (−15)/30 = −1/2。
故 A = 120°，為鈍角 → △ABC 是鈍角三角形。
另兩角回驗：cosB = (49+9−25)/(2×7×3) = 33/42 = 11/14 ≈ 0.7857 → B ≈ 38.2°；cosC = (49+25−9)/(2×7×5) = 65/70 = 13/14 ≈ 0.9286 → C ≈ 21.8°。B + C ≈ 60° = 180° − 120° ✓。
第二法（勾股推廣）互驗：b² + c² = 34 < a² = 49，最大邊平方大於另兩邊平方和 → 最大角為鈍角 ✓ 與 cosA<0 一致。

題2　先化簡條件：(a+b+c)(a+b−c) = (a+b)² − c² = a² + 2ab + b² − c² = 3ab → a² + b² − c² = ab。
化邊法：由余弦定理 cosC = (a² + b² − c²)/(2ab) = ab/(2ab) = 1/2 → C = 60°。僅憑 C=60° 還不能斷定等邊（還需 a=b），故形狀結論是「C 為 60° 的三角形」，不能寫「等邊三角形」。
化角法互驗：由正弦定理把 a²+b²−c²=ab 換成 sin²A + sin²B − sin²C = sinA sinB；因 C = π−(A+B)，sinC = sin(A+B)，代入化簡亦可回到 cosC=1/2（或直接把上式與餘弦定理對照，屬於同一關係的兩種寫法）。更簡便的互驗是取一組滿足條件的具體邊：令 a=b=1，則 a²+b²−c²=ab → 2−c²=1 → c=1，此時三邊相等、C=60° ✓；再取 a=2、b=1，則 4+1−c²=2 → c²=3 → c=√3，驗證 cosC=(4+1−3)/(2×2×1)=2/4=1/2 → C=60° ✓，但三邊不等，說明「C=60°」是唯一確定結論，「等邊」只是 a=b 時的特例。這一區分正是本題設的坑。

題3　該同學的結論不完整。由 sin2A = sin2B，在 A、B ∈ (0, π)、故 2A、2B ∈ (0, 2π) 的範圍內，正弦相等有兩類解：
① 2A = 2B → A = B → a = b，等腰三角形；
② 2A = π − 2B → 2A + 2B = π → A + B = π/2 → C = π/2，直角三角形（C 為直角）。
（注：2A = 2B + 2π 等解超出範圍，不取；2A = π − 2B + 2π 會使 A+B > π，亦排除。）
故全部可能情形為：等腰三角形（a=b）或直角三角形（C=90°），兩者可以重疊（等腰直角）。只寫「等腰」漏掉直角支。
附加 a ≠ b：排除 A=B 那一支，只剩 A+B=90°，故 △ABC 必為以 C 為直角的直角三角形。
回驗：取 A=30°、B=60°、C=90°，sin60° = sin120° = √3/2 ✓ 且 a≠b；取 A=B=50°，sin100°=sin100° ✓ 且 a=b，C=80° 非直角。兩支各有實例，說明都沒漏。

兩法互驗小結　題1 用餘弦定理求 cosA 為主、以「b²+c² 與 a² 比較」為輔；題2 用化簡條件 + 餘弦定理為主、以代入具體邊組為輔；題3 用「正弦相等的兩類解」窮舉為主、以取具體角度回代為輔。凡是形狀判定題，答案裡必須寫出分類的完整性（有沒有漏支）和一個回代實例，否則容易被「只推一半」扣分。

四、採分點對照

五、高頻易錯點

• 題1 不先判最大邊，拿小邊去算角，得出「銳角」的錯誤結論。
• cosA 為負時忘記角在第二象限，把 A 寫成 60° 而不是 120°。
• 題2 由 C=60° 直接跳到「等邊三角形」，忽略 a、b 未必相等。
• 題2 條件 (a+b+c)(a+b−c) 展開錯，寫成 a²+b²−c²=3ab。
• 題3 由 sin2A=sin2B 只取 2A=2B，漏掉 2A=π−2B 的直角支。
• 題3 不檢查 2A、2B 的取值範圍，把超出 (0,2π) 的解也算進來。
• 形狀題只給結論不回代實例，無法證明分類已窮盡。
• 化角時忘記 sinC = sin(A+B)，恆等變換卡住又不換化邊法。

六、小結與自查清單

• □ 三邊題先找最大邊，最大角一定對著它。
• □ 餘弦值為負時角在第二象限，別取銳角。
• □ 邊的條件先展開化簡，再對照餘弦定理分子。
• □ 「C=60°」不等於「等邊」，除非另有 a=b。
• □ sinX=sinY 一律寫兩支，並檢查 X、Y 範圍。
• □ 形狀結論寫全所有可能支，附一組具體值回代。
• □ 化角卡住就換化邊，兩條路結果必須一致。

形狀判定的分，一半在「選對路徑」，一半在「有沒有把支數想全」。三邊題先抓最大角，邊的關係式化簡後對照餘弦定理，角的正弦關係一律窮舉兩支；再用一組具體值回代，既能驗算也能證明沒漏。把「C=60° 不是等邊」「sin2A=sin2B 還有直角支」這兩句記住，最常丟的兩分就回來了。本組題目與數值均為原創自編仿真內容。