聯招數學·解三角形：正弦定理與「兩解」的判定

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

設已知 a、b 與角 A（a 為 A 的對邊，b 為另一已知邊），由正弦定理 sinB = b·sinA / a。令 h = b·sinA（b 邊在垂直於 a 方向上的「高度」）。按 a 與 h 及 b 的大小分三支，就能確定解的個數。

關鍵提醒：sinB 求出的只是正弦值，B 可能是銳角也可能是它的補角 180°−B；兩個候選都要用 A + B < 180° 回驗，成立才算一解。下面三題均為自編題，邊角數值自擬。

二、題目呈現

題1（自編）

在 △ABC 中，已知 A = 30°，b = 4，a = 3。判斷三角形解的個數，並求出所有解中的角 B、角 C 與邊 c（結果保留根號或兩位小數；sin30°=0.5，√3≈1.732）。

題2（自編）

在 △ABC 中，已知 A = 60°，b = 6，分別就 a = 3、a = 3√3、a = 4、a = 7 四種情形判斷解的個數，並說明理由（sin60°=√3/2≈0.866）。

題3（自編）

在 △ABC 中，已知 A = 45°，a = 5，b = 5√2。判斷解的個數並求 c；某同學由正弦定理得 sinB = 1 後，又補了一個 B = 180° − 90° = 90° 作為「第二解」，請指出錯在哪裡。

三、分步解析

題1　h = b·sinA = 4 × 0.5 = 2。比較：h = 2 < a = 3 < b = 4，落在「h < a < b」這一支 → 兩解。
由 sinB = b·sinA/a = 2/3 ≈ 0.6667，得 B₁ ≈ 41.81°，B₂ = 180° − 41.81° = 138.19°。回驗：A + B₁ = 71.81° < 180° ✓；A + B₂ = 168.19° < 180° ✓，兩解都成立。
解一：B₁ ≈ 41.81°，C₁ = 180° − 30° − 41.81° = 108.19°；解二：B₂ ≈ 138.19°，C₂ = 180° − 30° − 138.19° = 11.81°。
由 c = a·sinC/sinA = 3·sinC/0.5 = 6 sinC：c₁ = 6 sin108.19° ≈ 6×0.950 ≈ 5.70；c₂ = 6 sin11.81° ≈ 6×0.2046 ≈ 1.23。
回驗：用餘弦定理 a² = b² + c² − 2bc cosA 核對解一：16 + 32.49 − 2×4×5.70×0.866 ≈ 48.49 − 39.49 = 9.00 ≈ a²=9 ✓；解二：16 + 1.51 − 2×4×1.23×0.866 ≈ 17.51 − 8.52 = 8.99 ≈ 9 ✓。兩解均自洽。

題2　h = b·sin60° = 6 × √3/2 = 3√3 ≈ 5.196；b = 6。
① a = 3 < h → sinB = h/a = 5.196/3 ≈ 1.73 > 1，無解（對邊太短，夠不到）。
② a = h = 3√3 → sinB = 1，B = 90°，唯一解（直角三角形）；A + B = 150° < 180° ✓。
③ a = 4：h(5.196) > a = 4 → 仍屬 a < h，sinB = 5.196/4 ≈ 1.30 > 1，無解。注意這一支最容易錯：a=4 比 a=3 大，但仍小於 h，不能想當然以為「變大了就有一解」。
④ a = 7 > b = 6 → sinB = 5.196/7 ≈ 0.742，B₁ ≈ 47.9°，B₂ ≈ 132.1°；但 A + B₂ = 60° + 132.1° = 192.1° > 180°，B₂ 不成立，故唯一解（B ≈ 47.9°）。規則：a ≥ b 時只有一解。
四支結論：無解 / 一解 / 無解 / 一解。

題3　h = b·sin45° = 5√2 × √2/2 = 5，恰好 a = 5 = h → 唯一解。sinB = h/a = 1，B = 90°；C = 180° − 45° − 90° = 45°。由 c = a·sinC/sinA = 5·(√2/2)/(√2/2) = 5（也可看出此時 A = C = 45°，為等腰直角三角形，c = a = 5，b = 5√2 為斜邊）。回驗：5² + 5² = 50 = (5√2)² ✓。
該同學錯在：當 sinB = 1 時，B = 90° 的補角仍是 90°，兩個候選重合為同一個角，並不存在「第二解」；他把「180° − B」這個求補角的公式機械套用，沒意識到 90° 的補角等於自身。更一般的判定是：補角候選必須滿足 A + (180° − B) < 180°，即 A < B 才成立；本題 A = 45° < B = 90° 看似滿足，但補角 90° 與原角相同，屬同一解，不能重複計數。這一點正是「a = h」支只給一解的原因。

判定口徑小結　已知 a、b、A，令 h = b·sinA：
① a < h → 無解（sinB>1）；
② a = h → 一解（B=90°）；
③ h < a < b → 兩解（B 與 180°−B 均滿足 A+B<180°）；
④ a ≥ b → 一解（補角候選使 A+B ≥ 180°，被排除）。
幾何解釋：把 A 角與邊 b 固定，邊 a 是以 C 為圓心、半徑 a 的圓與 A 的另一條射線的交點個數——夠不到（0）、相切（1）、相交兩點（2）、只交一點且另一點在反向（1）。

四、採分點對照

五、高頻易錯點

• 算出 sinB 就只取銳角，漏掉補角候選，兩解答成一解。
• 補角候選不回驗 A + B < 180°：a ≥ b 時 180°−B 往往不成立。
• 把 h 記成 b·cosA 或 a·sinB，判定基準錯。
• 題2 ③ 見 a 從 3 增到 4 就以為「該有解了」，忽略仍小於 h≈5.196。
• 題3 把 sinB=1 的兩個「補角」當成兩解：90° 的補角是自身。
• 求 c 時忘記 sinA 在分母，或把 C 與 B 弄混。
• 只給角不給邊，或答案不帶「兩解/一解」的明確個數結論。

六、小結與自查清單

• □ 第一句先算 h = b·sinA，並寫出與 a、b 的三方比較。
• □ 按四支表定解數，先寫個數再求角。
• □ sinB 求出後列出 B 與 180°−B 兩個候選。
• □ 每個候選都用 A + B < 180° 回驗，不成立就劃掉。
• □ 90° 的補角是自身，別重複計數。
• □ 求 c 用 c = a·sinC/sinA，並回代一組餘弦定理驗算。
• □ 答案寫清「無解 / 一解 / 兩解」，兩組解分別列全。

SSA 的所有玄學都能收進一張表：先算 h = b·sinA，再按 a 與 h、b 的大小落支。剩下的動作是固定的——列兩個 B 候選、用內角和篩、分別求 C 與 c、回代驗算。記住「90° 的補角還是 90°」，最後一處重複計數也能避開。本組題目、邊角數值均為原創自編仿真內容。