題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
原理：小角度（一般 θ < 5°）時 T = 2π√(L/g)，變形得 g = 4π²L/T²，或寫成 T² = (4π²/g)·L——以 T² 為縱軸、L 為橫軸作圖，斜率 k = 4π²/g，故 g = 4π²/k。
三個高頻坑：擺長 L 是懸點到球心（線長 + 球半徑），不是線長；計時要測 30～50 個全振動的總時間再除以次數（累積法），不應只測一次；計時起止點選平衡位置（速度最大、判斷最準），不選最高點。下面數據為自編。
二、題目呈現
題設（自編）
用細線、小鐵球（直徑 2.00 cm）、鐵架臺、米尺、秒錶做實驗。改變線長，測得數據如下（t 為 30 次全振動總時間，線長 l 為懸點到球表面下端所量的線長；π² 取 9.87）：
l/m：0.600 0.700 0.800 0.900 1.000
t/s：46.8 50.5 54.0 57.3 60.4
(1) 寫出實驗原理公式與關鍵操作要點（至少四條）。
(2) 由數據算各次週期 T 與實際擺長 L，用 T²-L 圖像法求 g；若某同學直接用線長 l 代替 L 作圖，求出的 g 偏大還是偏小？
(3) 說明為什麼測 30 次全振動而不是 1 次，為什麼從平衡位置開始計時。
(4) 指出下列操作的影響：① 擺角約 15°；② 秒錶啟動早了 0.2 s、停止也早了 0.2 s；③ 把小球直徑漏加進擺長；④ 計時時把 30 次全振動數成 29 次。
三、分步解析
(1) 原理與操作 原理：小角度下 T = 2π√(L/g) → g = 4π²L/T²，或 T² = (4π²/g)L。操作要點：① 擺線選不易伸長的細線、小球選密度大且體積小者，懸點固定牢固（用鐵夾夾緊，避免擺動中懸點移動）；② 擺角小於 5°，保證小角度近似成立，且釋放時不要給初速度、讓擺球在同一豎直平面內擺動（避免成為圓錐擺）；③ 擺長 L = 線長 l + 小球半徑 r（本題 r = 1.00 cm = 0.010 m），測到球心；④ 從擺球經過平衡位置時開始計時，數 30～50 次全振動（一次全振動＝從平衡位置出發再以同方向回到平衡位置），總時間 t 除以次數得 T；⑤ 改變線長重複多次，用 T²-L 圖像處理，不只用單點公式。
(2) 數據處理 r = 0.010 m，故 L = l + 0.010：0.610、0.710、0.810、0.910、1.010 m。T = t/30：1.560、1.683、1.800、1.910、2.013 s。T²：2.434、2.833、3.240、3.648、4.053 s²。
用相距較遠兩點求斜率：k = (4.053 − 2.434)/(1.010 − 0.610) = 1.619/0.400 = 4.048 s²/m。由 k = 4π²/g 得 g = 4×9.87/4.048 = 39.48/4.048 ≈ 9.75 m/s²（與標準值 9.8 接近 ✓）。
若誤用線長 l 代替 L：T² 與 l 的關係為 T² = (4π²/g)(l + r) = (4π²/g)l + (4π²/g)r，即斜率不變（仍是 4π²/g），只是圖線在縱軸上多一個正截距、不經過原點。因此只要用斜率求 g，結果不受影響；但若用單點公式 g = 4π²l/T²（把 l 當 L），因 l < L，分子偏小，算出的 g 偏小。答題必須區分「圖像斜率法」與「單點公式法」，這是本問最大的區分點。定量核對：取第一組用 l=0.600、T=1.560，得 g = 39.48×0.600/2.434 ≈ 9.73，比用 L=0.610 得的 39.48×0.610/2.434 ≈ 9.89 偏小 ✓。
(3) 累積法與起止點 測 30 次而不是 1 次：秒錶的人工反應時間約 0.1～0.2 s，測 1 個週期（約 1.7 s）時相對誤差達 6%～12%；測 30 次總時間約 50 s，同樣的絕對誤差被平攤到 30 個週期上，單次週期的絕對誤差降為約 0.2/30 ≈ 0.007 s，相對誤差降到約 0.4%。這就是累積放大法減小偶然誤差。從平衡位置計時：擺球在平衡位置速度最大、經過該點的時間最短，人眼判斷「通過»的時刻最準；在最高點（振幅端點）速度為零、會短暫停頓，判斷起止時刻的誤差明顯更大。另外以「同方向通過平衡位置」計一次全振動，可避免把半週期當成一週期。
(4) 誤差逐項 ① 擺角約 15°：超出小角度近似（sinθ ≈ θ 不再成立），實際週期比公式值略大，由 g = 4π²L/T² 得 g 偏小（系統誤差，來自原理近似被破壞）。② 啟動早 0.2 s、停止也早 0.2 s：兩次偏移同向等量，在總時間上相互抵消，t 不變，T 不變，對 g 無影響——這是「系統偏移可否抵消」的經典考點；若只早啟動或只早停，才會使 t 偏小/偏大。③ 漏加小球半徑：所用 L 偏小。若用單點公式，分子偏小 → g 偏小；若用T²-L 圖像斜率法，因所有 L 都少加同一常數 r，圖線整體平移、斜率不變 → g 不受影響（同(2)的道理）。④ 把 30 次數成 29 次：實際測的是 30 次的時間卻除以 29，所得 T 偏大，T² 偏大，由 g = 4π²L/T² 得 g 偏小；定量：T 偏大 30/29 ≈ 1.034 倍，T² 偏大約 1.070 倍，g 約偏小 6.5%。
定量回驗 用 g=9.75 反推最長擺：T = 2π√(1.010/9.75) = 2×3.1416×√0.10359 ≈ 6.2832×0.3219 ≈ 2.022 s，與實測 2.013 s 相差 0.4%，在讀數誤差量級內 ✓；再取最短擺：T = 6.2832×√(0.610/9.75) = 6.2832×0.2502 ≈ 1.572 s，與實測 1.560 s 相差 0.8% ✓。兩端一致，說明斜率取法可靠。
四、採分點對照
| 設問 | 答案要點 | 採分點 |
|---|---|---|
| (1) 原理 | T=2π√(L/g)；g=4π²L/T² | 公式 2 分；變形 1 分；小角度條件 1 分 |
| (1) 操作 | 懸點牢固/擺角<5°/L=線長+半徑/平衡位置計時/累積多次 | 每條 1 分，共 4 分 |
| (2) 數據 | L=l+0.010；T=t/30；T² 列 | 擺長修正 2 分；週期列 1 分；T² 列 1 分 |
| (2) g | k≈4.048 s²/m；g≈9.75 m/s² | 斜率 2 分；g 計算 2 分；單位 1 分 |
| (2) 誤用 l | 斜率法不受影響；單點公式 g 偏小 | 區分兩法 2 分；偏小推導 2 分；截距說明 1 分 |
| (3) | 累積法降相對誤差；平衡位置速度最大易判 | 相對誤差估算 2 分；平衡位置理由 2 分 |
| (4) ① | 擺角大→T 偏大→g 偏小 | 判定 1 分；推導 1 分 |
| (4) ② | 同向等量抵消，無影響 | 判定 1 分；說明抵消 1 分 |
| (4) ③④ | ③單點偏小/斜率不變；④T 偏大→g 偏小 | ③兩法區分 2 分；④判定與推導 2 分 |
五、高頻易錯點
- 把線長直接當擺長，漏加小球半徑（或加了直徑而不是半徑）。
- 擺角放到 15° 還照用 T=2π√(L/g)，忽略小角度前提。
- 只測 1 次全振動就除以 1，秒錶反應誤差被完整帶入。
- 在最高點（振幅端點）計時，起止時刻判斷誤差大。
- 把「同方向通過平衡位置」的一次全振動數成半週期。
- 誤用線長時一律答「g 偏小」，不分圖像斜率法與單點公式法。
- 啟動早、停止也早被當成兩次獨立誤差，漏掉同向抵消。
- 把 30 次數成 29 次時，誤判 T 偏小（實際是除以更小的數→T 偏大）。
六、小結與自查清單
| 要點 | 正確做法 | 出錯後果 |
|---|---|---|
| 擺長 L | 線長 + 球半徑（到球心） | 單點法 g 偏小；斜率法不受影響 |
| 擺角 | θ < 5° | 週期偏大 → g 偏小 |
| 計時 | 平衡位置起，30～50 次全振動 | 反應誤差被放大 / 半週期誤計 |
| 圖像 | T²-L 斜率 k=4π²/g | 用 T-L 作圖不成直線 |
| 同向等量偏移 | 啟動與停止同偏 → 抵消 | 誤判為有影響 |
- □ 第一句寫 L = 線長 + 球半徑，並註明小角度條件。
- □ 週期用總時間除以全振動次數，次數核對兩遍。
- □ 作圖用 T²-L 而不是 T-L，斜率取相距較遠兩點。
- □ 由 k = 4π²/g 求 g，別把 k 直接當 g。
- □ 誤差題先分「圖像斜率法」還是「單點公式法」。
- □ 系統偏移看方向：同向等量即抵消。
- □ 結果帶單位，並回代兩端數據核對一次。
單擺測 g 的分，全在「擺長到球心」「累積法計時」「T²-L 斜率」這三處細節上。最值得記的是那條分水嶺：漏加球半徑對圖像斜率法沒影響，對單點公式法卻讓 g 偏小——同一處失誤，兩種處理結果不同。把這條想清，誤差題就不會一刀切。本組數據、裝置與結論均為原創自編仿真內容。
