題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
兩條通法先記牢：中線用阿波羅尼斯定理 ma² = (2b² + 2c² − a²)/4，或向量法 AM = (AB + AC)/2；角平分線用角平分線定理 BD:DC = c:b 先分段，再用長度公式 ta² = bc[1 − a²/(b+c)²]，或 cos 半角公式 ta = 2bc·cos(A/2)/(b+c)。
凡是求長度，務必用第二法互驗：向量法與餘弦定理、或分段後用餘弦定理，兩條路算到同一個數才放心。下面三題均為自編題，數值自擬。
二、題目呈現
題1 中線長（自編）
在 △ABC 中，AB = c = 5，AC = b = 7，BC = a = 8。設 M 為 BC 中點，求中線 AM 的長，並用兩種方法互驗。
題2 角平分線長（自編）
在 △ABC 中，a = 7，b = 5，c = 3（與角度判定常見的一組自編邊值同型）。設 AD 為角 A 的平分線交 BC 於 D，求 BD、DC 與 AD 的長。
題3 綜合（自編）
在 △ABC 中，b = 6，c = 4，A = 60°。求：① a；② BC 邊上的中線長 ma；③ △ABC 的面積 S；④ 角 A 的平分線長 ta。
三、分步解析
題1 法一（阿波羅尼斯） ma² = (2b² + 2c² − a²)/4 = (2×49 + 2×25 − 64)/4 = (98 + 50 − 64)/4 = 84/4 = 21 → AM = √21 ≈ 4.58。
題1 法二（餘弦定理互驗） 先求 cosB：cosB = (a² + c² − b²)/(2ac) = (64 + 25 − 49)/(2×8×5) = 40/80 = 1/2 → B = 60°。在 △ABM 中，BM = a/2 = 4，AB = 5，夾角 B = 60°，由余弦定理：
AM² = AB² + BM² − 2·AB·BM·cosB = 25 + 16 − 2×5×4×(1/2) = 41 − 20 = 21 → AM = √21 ✓ 與法一一致。
（第三法向量：AM = (AB+AC)/2，|AM|² = ¼(|AB|²+|AC|²+2AB·AC)，而 AB·AC = bc·cosA；由 cosA = (49+25−64)/(2×7×5)=10/70=1/7，得 |AM|² = ¼(25+49+2×5×7×1/7) = ¼(74+10) = 21 ✓。三法同值。）
題2 分段 角平分線定理：BD/DC = AB/AC = c/b = 3/5，且 BD + DC = a = 7。故 BD = 7×3/8 = 21/8 = 2.625，DC = 7×5/8 = 35/8 = 4.375。
題2 求 AD（兩法） 法一（長度公式）：ta² = bc[1 − a²/(b+c)²] = 5×3×[1 − 49/64] = 15 × 15/64 = 225/64 → AD = 15/8 = 1.875。
法二（餘弦定理互驗）：先求 cosA = (b² + c² − a²)/(2bc) = (25 + 9 − 49)/(2×5×3) = (−15)/30 = −1/2 → A = 120°，cos(A/2) = cos60° = 1/2。半角公式 ta = 2bc·cos(A/2)/(b+c) = 2×5×3×(1/2)/8 = 15/8 ✓ 一致。
再用分段後的 △ABD 核對：AB=3，BD=21/8，角 B 由 cosB = (49+9−25)/(2×7×3) = 33/42 = 11/14；AD² = 9 + (21/8)² − 2×3×(21/8)×(11/14) = 9 + 441/64 − (693/56) ≈ 9 + 6.891 − 12.375 = 3.516 ≈ 225/64 = 3.516 ✓。三路同值。
題3 ① 餘弦定理：a² = b² + c² − 2bc cosA = 36 + 16 − 2×6×4×(1/2) = 52 − 24 = 28 → a = 2√7 ≈ 5.29。
題3 ② ma² = (2b² + 2c² − a²)/4 = (72 + 32 − 28)/4 = 76/4 = 19 → ma = √19 ≈ 4.36。互驗（向量法）：AB·AC = bc cosA = 6×4×1/2 = 12，|AM|² = ¼(c² + b² + 2bc cosA) = ¼(16+36+24) = 19 ✓。
題3 ③ S = ½ bc sinA = ½ × 6 × 4 × (√3/2) = 6√3 ≈ 10.39。互驗（海倫公式）：p = (a+b+c)/2 = (2√7+10)/2 = 5+√7 ≈ 7.646；S = √[p(p−a)(p−b)(p−c)] = √[7.646×2.354×1.646×3.646] ≈ √108.0 ≈ 10.39 ✓（精確值同為 6√3）。
題3 ④ ta = 2bc·cos(A/2)/(b+c)，A/2 = 30°，cos30° = √3/2 → ta = 2×6×4×(√3/2)/10 = 24√3/10 = 12√3/5 ≈ 4.16。互驗（長度公式）：ta² = bc[1 − a²/(b+c)²] = 24×[1 − 28/100] = 24×0.72 = 17.28 → ta = √17.28 ≈ 4.157；而 (12√3/5)² = 144×3/25 = 432/25 = 17.28 ✓ 一致。
互驗小結 三題都用「公式法為主 + 餘弦定理/向量法為輔」雙路徑：題1 三法同得 √21；題2 三路同得 15/8；題3 四個量各有第二法核對（向量法驗中線、海倫驗面積、長度公式驗角平分線）。凡求線段長，答案裡寫出公式 → 代入 → 第二法回驗三步，既防算錯也拿滿步驟分。
四、採分點對照
| 題號 | 答案 | 採分點 |
|---|---|---|
| 題1 | AM=√21≈4.58 | 阿波羅尼斯公式 2 分；代入 1 分；求 cosB 1 分；餘弦定理互驗 2 分；結論 1 分 |
| 題2 分段 | BD=21/8，DC=35/8 | 角平分線定理 2 分；比例與和 1 分；兩值各 1 分 |
| 題2 AD | AD=15/8=1.875 | 長度公式 2 分；求 A=120° 與半角 1 分；兩法互驗 2 分；分段餘弦核對 1 分 |
| 題3 ① | a=2√7 | 餘弦定理 2 分；結果 1 分 |
| 題3 ② | m_a=√19 | 公式 1 分；向量法互驗 2 分 |
| 題3 ③ | S=6√3 | 面積公式 1 分；海倫互驗 1 分 |
| 題3 ④ | t_a=12√3/5≈4.16 | 半角公式 2 分；長度公式互驗 2 分 |
五、高頻易錯點
- 中線公式記成 (b²+c²−a²)/4，漏掉係數 2，或把 a 與 b、c 對錯位。
- 向量法寫 AM=(AB+AC)/2 卻把 |AM|² 算成 ¼(|AB|²+|AC|²)，漏掉內積項 2AB·AC。
- 角平分線定理把 BD:DC 寫成 b:c（應為 c:b，即鄰邊 AB:AC）。
- 求 AD 時直接用 A 而不是 A/2 的餘弦，半角漏掉。
- 題2 cosA=−1/2 時把 A 寫成 60°，導致半角與長度全錯。
- 面積題忘記乘 ½，或把 sin60° 寫成 1/2。
- 只給一條路徑的結果，不寫第二法互驗，算錯也看不出來。
- 結果不化簡（如 15/8 寫成小數卻不算準），或不帶根號精確值。
六、小結與自查清單
| 求什麼 | 主公式 | 互驗路徑 |
|---|---|---|
| 中線 m_a | m_a²=(2b²+2c²−a²)/4 | 向量 AM=(AB+AC)/2；△ABM 餘弦定理 |
| 角平分線分段 | BD:DC=c:b，BD+DC=a | 按比例分配後回加得 a |
| 角平分線 t_a | t_a=2bc·cos(A/2)/(b+c) | t_a²=bc[1−a²/(b+c)²]；△ABD 餘弦定理 |
| 面積 | S=½bc·sinA | 海倫公式 |
| 邊 a | a²=b²+c²−2bc·cosA | 正弦定理比值核對 |
- □ 中線題先寫阿波羅尼斯公式，再用向量或 △ABM 餘弦定理驗。
- □ 角平分線先按 c:b 分段，再求長度，別跳分段。
- □ 半角一律先由 cosA 求 A，再取 A/2 的餘弦。
- □ cos 為負時角在第二象限，別取銳角。
- □ 向量法務必保留內積項 2AB·AC = 2bc·cosA。
- □ 每個長度至少兩種路徑同值才收筆。
- □ 結果給精確值（根號/分數），需要時附近似值。
中線與角平分線的題看著雜，其實就兩條路：向量/阿波羅尼斯管中線，比例分段 + 半角公式管角平分線。真正保分的是「再走一條路互驗」——題1 三法同得 √21、題2 三路同得 15/8，算錯立刻露餡。把雙路徑寫成習慣，這類題就從硬算變成了核對。本組題目與數值均為原創自編仿真內容。
