題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
畫草圖不需要描很多點，只需要四樣東西：定義域、f′ 的零點、每個區間上 f′ 的符號、駐點（及端點）的函數值。f′ > 0 升、f′ < 0 降；f′ 由正變負是極大，由負變正是極小；f′ = 0 只是駐點的必要信號，不是極值的充分條件（如 f(x)=x³ 在 x=0）。
本題組統一用五步：①求 f′；②解 f′=0 得駐點；③列符號表分區間判正負；④回代原函數算駐點與端點值；⑤按升降與關鍵點連成草圖。第 ④ 步是這類題最常被跳掉、也最容易把圖畫歪的一步，下面三題都做回代驗算。
二、題目呈現
題1
已知 f(x) = x³ − 3x² + 2。
(1) 求 f′(x)，列出單調區間與極值；
(2) 求 f(x) 在閉區間 [−1, 3] 上的最大值與最小值；
(3) 據此畫出 f(x) 的草圖，並標出關鍵點。
題2
已知函數 f(x) 的導函數為 f′(x) = (x − 1)(x − 3)，且 f(2) = 0。
(1) 求 f(x) 的解析式；
(2) 求 f(x) 的極大值與極小值；
(3) 說明 f′ 的圖象與 f 的草圖之間是如何對應的。
題3（單選）
若函數 f(x) = x³ + ax² + bx 在 x = 1 處取得極小值 −2，則（ ）
A. a = 0, b = −3 B. a = −3, b = 0 C. a = 0, b = 3 D. a = 3, b = 0
三、分步解析
題1 (1) f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2)。令 f′ = 0 得 x = 0 或 x = 2。符號表：x < 0 時 3x(x−2) > 0（兩負相乘為正），0 < x < 2 時 x>0、x−2<0 故 f′ < 0，x > 2 時 f′ > 0。故 增區間 (−∞, 0) 與 (2, +∞)，減區間 (0, 2)；x=0 處 f′ 由正變負為極大點，x=2 處由負變正為極小點。回代：f(0) = 2，f(2) = 8 − 12 + 2 = −2。即極大值 2，極小值 −2。
題1 (2) 閉區間最值要把駐點與兩個端點全部算出再比：f(−1) = −1 − 3 + 2 = −2，f(0) = 2，f(2) = −2，f(3) = 27 − 27 + 2 = 2。比較得：最大值 2（在 x = 0 與 x = 3 兩處取到），最小值 −2（在 x = −1 與 x = 2 兩處取到）。驗算：由 (1) 的升降可知 [−1,0] 升、[0,2] 降、[2,3] 升，故最大隻可能在 x=0 或 x=3、最小隻可能在 x=−1 或 x=2，四個值兩兩相等與升降走勢完全吻合。
題1 (3) 草圖要點：過 (0, 2) 極大、 (2, −2) 極小；左端 x→−∞ 時 f→−∞，右端 x→+∞ 時 f→+∞；在 [−1,3] 內還經過 (−1, −2) 與 (3, 2)。曲線自左下升到 (0,2)，再降到 (2,−2)，再向右上升；x 軸交點可由 f(x)=0 觀察：f(−1)=−2、f(0)=2 說明 (−1,0) 內有一根，f(2)=−2、f(3)=2 說明 (2,3) 內有一根，另有 f(1)=1−3+2=0 即 x=1 恰為一根，共三根，與三次函數最多三根一致，圖象自洽。
題2 (1) f′(x) = (x−1)(x−3) = x² − 4x + 3，積分得 f(x) = x³/3 − 2x² + 3x + C。由 f(2) = 8/3 − 8 + 6 + C = 2/3 + C = 0，得 C = −2/3。故 f(x) = x³/3 − 2x² + 3x − 2/3。回代驗算：f(2) = 8/3 − 8 + 6 − 2/3 = 6/3 − 2 = 0 ✓；求導 f′ = x² − 4x + 3 = (x−1)(x−3) ✓。
題2 (2) 由 f′ 開口向上、兩根 1 與 3 知：x<1 時 f′>0（增），1<x<3 時 f′<0（減），x>3 時 f′>0（增）。故 x=1 為極大點、x=3 為極小點。回代：f(1) = 1/3 − 2 + 3 − 2/3 = 2/3，f(3) = 9 − 18 + 9 − 2/3 = −2/3。即極大值 2/3，極小值 −2/3。對稱性驗算：f(1)+f(3)=0 且 f(2)=0，與三次函數關於其拐點 (2, 0) 中心對稱一致（f″(x)=2x−4，f″=0 於 x=2），三點數值自洽。
題2 (3) 對應關係三條：① f′ 的零點 ↔ f 的駐點橫座標（1 與 3）；② f′ 圖象在 x 軸上方／下方 ↔ f 的升／降（上方位 (−∞,1)∪(3,+∞) 對應兩段升，下方位 (1,3) 對應一段降）；③ f′ 穿過 x 軸的方向 ↔ 極大還是極小（在 x=1 由正穿到負 ↔ 極大，在 x=3 由負穿到正 ↔ 極小）。此外 f′ 的最低點在 x=2，對應 f″(2)=0，即 f 的拐點橫座標——這也解釋了 f(2)=0 恰在兩駐點中間。
題3 f′(x) = 3x² + 2ax + b。在 x=1 取極值須 f′(1) = 3 + 2a + b = 0；又 f(1) = 1 + a + b = −2。兩式聯立：由第一式 b = −3 − 2a，代入第二式 1 + a − 3 − 2a = −2 → −2 − a = −2 → a = 0，故 b = −3。此時 f′(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1)，x=1 處 f′ 由負變正，確為極小（不是極大），條件滿足。故答案為 A。回代驗算：f(x)=x³−3x，f(1)=1−3=−2 ✓，f′(1)=0 ✓。B 項 a=−3,b=0 時 f′(x)=3x²−6x，f′(1)=−3≠0，直接排除；C 項 f′(1)=6≠0；D 項 f′(1)=6≠0。
四、採分點對照
| 題號 | 答案 | 採分點構成 |
|---|---|---|
| 題1 (1) | 增 (−∞,0),(2,+∞)；減 (0,2)；極大 2、極小 −2 | 求導 1 分；解駐點 1 分；符號表 2 分；回代算極值 1 分 |
| 題1 (2) | 最大 2（x=0,3）；最小 −2（x=−1,2） | 列出駐點與兩端點四個值 2 分；比較結論 1 分；說明兩個取到點 1 分 |
| 題1 (3) | 草圖見解析 | 標出兩駐點 1 分；兩端趨勢 1 分；升降三段 1 分；零點個數自洽 1 分 |
| 題2 (1) | f(x)=x³/3−2x²+3x−2/3 | 寫出積分式 2 分；由 f(2)=0 定 C 1 分；求導回驗 1 分 |
| 題2 (2) | 極大 2/3、極小 −2/3 | 符號判定 1 分；兩個函數值回代各 1 分；拐點對稱性驗算 1 分 |
| 題2 (3) | 三條對應 | 零點↔駐點 1 分；上方位↔升降 1 分；穿軸方向↔極大極小 1 分；f′最低點↔拐點 1 分 |
| 題3 | A | 列出 f′(1)=0 與 f(1)=−2 兩式各 1 分；解出 a、b 1 分；驗證 x=1 為極小 1 分；排除其餘 1 分 |
五、高頻易錯點
- 只寫 f′=0 的解就宣佈是極值點，不列符號表驗證符號是否真的改變（f(x)=x³ 型反例）。
- 閉區間最值只比較駐點，漏掉兩個端點——題1 的最大值恰在端點 x=3 也取到。
- 求極值時用 f′ 的值代替 f 的值，或忘記把駐點代回原函數。
- 由 f′ 反推 f 時漏掉積分常數 C，或定了 C 不回代檢驗。
- 題3 只由 f(1)=−2 一個條件就猜 a、b，忘記極值還必須滿足 f′(1)=0；或解出後不驗證是極小而非極大。
六、小結與自查清單
| f′ 的信息 | f 的圖象表現 | 本題對應 |
|---|---|---|
| f′ > 0 / f′ < 0 | 遞增 / 遞減 | 題1 三段升降 |
| f′ = 0 且正→負 | 極大點 | 題1 x=0；題2 x=1 |
| f′ = 0 且負→正 | 極小點 | 題1 x=2；題2 x=3 |
| f′ = 0 但符號不變 | 駐點非極值（水平拐點） | x³ 在 x=0（辨析用） |
| f′ 的極值點（f″=0） | f 的拐點 | 題2 x=2，f(2)=0 |
- □ 求導後先因式分解，再解 f′=0，別直接套公式硬解。
- □ 符號表按駐點把數軸分段，每段取一個測試點代入判號。
- □ 極值一律把橫座標代回原函數算縱座標，別用 f′ 的值。
- □ 閉區間最值把「駐點＋兩端點」列成一張小表再比大小，寫明在哪些 x 取到。
- □ 由 f′ 反推 f 時先寫 +C，用給定點定 C，再求導回驗一次；最後用二階導確認極大極小。
圖象題不需要描點描得密，只需要把 f′ 的零點、符號、駐點函數值這三件事做全，草圖的骨架就定了。題1 的四個端點/駐點值兩兩相等、題2 的拐點中心對稱，都是「回代一下就能自證」的自洽信號——考場上多花三十秒驗這一下，比事後檢查整張圖划算得多。本組題目、函數式與數值均為原創自編仿真內容。
