聯招數學·導數證明不等式：構造輔助函數的四種起手式

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

統一框架四步：①移項把待證式寫成「左邊 − 右邊」；②構造令 F(x) = 左 − 右，待證即 F(x) ≥ 0（或 > 0）；③求導由 F′ 的符號定 F 的單調區間與最小值點；④回代算最小值處的 F 值，若 ≥ 0 則證畢。第四步最容易被漏——只寫「F 單調遞增」不寫「F(x₀)=0」是不完整的證明。

四種起手式：作差（最常用，直接左右相減）、移項變形（把含參項移到一側便於求導）、同構（把兩邊湊成同一函數在不同點的取值，用單調性比較自變量）、放縮（先用已知不等式降次再構造）。下面三題覆蓋前三種並帶一處放縮，所有函數式與數值均為自編並做回代驗算。

二、題目呈現

題1

用構造輔助函數的方法證明：
(1) 對任意實數 x，e^x ≥ 1 + x，並指出取等條件；
(2) 當 x > 0 時，ln x ≤ x − 1，並由此推出 ln 2 < 1 與 ln(1 + 1/n) < 1/n（n 為正整數）。

題2（單選）

要證明「當 x > 1 時，2√x > 3 − 1/x」，下列構造的輔助函數中，能直接完成證明的是（　）

A. F(x) = x − 1 − ln x　B. F(x) = 2√x − 3 + 1/x　C. F(x) = e^x − 1 − x　D. F(x) = x − sin x

題3

已知 x > 0，證明：x − x²/2 < ln(1 + x) < x。
（提示：兩側分別構造 F₁(x) = ln(1+x) − x 與 F₂(x) = ln(1+x) − x + x²/2，並做數值回代驗證。）

三、分步解析

題1 (1)　令 F(x) = e^x − 1 − x，定義域 R。F′(x) = e^x − 1。
當 x < 0 時 e^x < 1 ⇒ F′ < 0，F 遞減；當 x > 0 時 F′ > 0，F 遞增；故 x = 0 是 F 的最小值點。
回代：F(0) = 1 − 1 − 0 = 0。於是對任意 x，F(x) ≥ F(0) = 0，即 e^x ≥ 1 + x。取等條件：僅在 x = 0 時成立。
數值回代驗算：x = 1 時 F(1) = e − 2 ≈ 0.718 > 0 ✓；x = −1 時 F(−1) = e⁻¹ ≈ 0.368 > 0 ✓，兩側均非負且與「先減後增、最小在 0」一致。

題1 (2)　令 G(x) = x − 1 − ln x（x > 0）。G′(x) = 1 − 1/x = (x − 1)/x。
0 < x < 1 時 G′ < 0（減），x > 1 時 G′ > 0（增），故 x = 1 為最小點；G(1) = 1 − 1 − 0 = 0。故 G(x) ≥ 0，即 ln x ≤ x − 1，等號僅在 x = 1。
推出 ln 2 < 1：取 x = 2（≠1，嚴格不等），ln 2 < 2 − 1 = 1 ✓。
推出 ln(1+1/n) < 1/n：取 x = 1 + 1/n > 1（n 為正整數），由嚴格不等式 ln x < x − 1 得 ln(1 + 1/n) < (1 + 1/n) − 1 = 1/n ✓。
回代驗算：n = 1 時 ln 2 ≈ 0.693 < 1 ✓；n = 10 時 ln 1.1 ≈ 0.0953 < 0.1 ✓。兩處數值與結論一致。

題2　待證式 2√x > 3 − 1/x 移項即得 2√x − 3 + 1/x > 0，故應構造 F(x) = 2√x − 3 + 1/x，選 B。
完整驗證（說明 B 確實能證）：F′(x) = 1/√x − 1/x² = (x^3/2 − 1)/x²。當 x > 1 時 x^3/2 > 1 ⇒ F′ > 0，F 在 (1, +∞) 遞增；F(1) = 2 − 3 + 1 = 0；故 x > 1 時 F(x) > F(1) = 0，即原不等式成立。數值回代：x = 4 時 F(4) = 4 − 3 + 0.25 = 1.25 > 0 ✓，且 2√4 = 4 > 3 − 0.25 = 2.75 ✓。
其餘選項為何不行：A 是題1(2) 的構造，證的是 ln x ≤ x−1；C 證的是 e^x ≥ 1+x；D 證的是 x > sin x。三者與待證式無關，屬於「熟悉的構造」型干擾項。故答案為 B。

題3 右側　令 F₁(x) = ln(1+x) − x（x > 0）。F₁′(x) = 1/(1+x) − 1 = −x/(1+x) < 0，故 F₁ 在 (0,+∞) 嚴格遞減；又 F₁(0) = 0（端點值，可由連續性取極限），故 x > 0 時 F₁(x) < 0，即 ln(1+x) < x ✓。

題3 左側　令 F₂(x) = ln(1+x) − x + x²/2（x > 0）。F₂′(x) = 1/(1+x) − 1 + x = [1 − (1+x) + x(1+x)]/(1+x) = x²/(1+x) > 0，故 F₂ 在 (0,+∞) 嚴格遞增；F₂(0) = 0，故 x > 0 時 F₂(x) > 0，即 ln(1+x) > x − x²/2 ✓。
合併兩側即得 x − x²/2 < ln(1+x) < x。
數值回代驗算：取 x = 0.5，左 = 0.5 − 0.125 = 0.375，中 = ln 1.5 ≈ 0.4055，右 = 0.5，滿足 0.375 < 0.4055 < 0.5 ✓；取 x = 2，左 = 2 − 2 = 0，中 = ln 3 ≈ 1.0986，右 = 2，滿足 0 < 1.0986 < 2 ✓。兩處均閉環，且 F₂′ = x²/(1+x) 恆正、F₁′ = −x/(1+x) 恆負，與「左側遞增、右側遞減」的推導一致。

起手式小結　本題組用到的構造對應四種起手式中的三種：作差（題1 兩問、題2、題3 兩側都是把左右相減）、移項（題2 把 3 − 1/x 整體移到左邊，使 √x 與 1/x 便於求導）、放縮（題1(2) 由 ln x ≤ x−1 令 x = 1+1/n 推出對數估計，是用已知不等式降維）。同構式（如把 a e^a 與 b e^b 湊成同一函數值再比自變量）在本組未出題，作為後續輪次的獨立角度保留。

四、採分點對照

五、高頻易錯點

• 只寫「F 單調遞增」就宣佈證畢，漏掉最關鍵的最小值回代 F(x₀)=0。
• 定義域不寫：ln x 與 1/x 的構造必須先聲明 x>0，端點 x=0 是極限意義下的值。
• 題2 看到熟悉的 F(x)=x−1−ln x 就選，沒把待證式先移項對照。
• F₂′ 通分時把 1/(1+x) − 1 + x 算成 −x²/(1+x)，符號弄反導致結論顛倒。
• 嚴格與非嚴格混用：x>1 時 F(x) > F(1) 是嚴格的，推論裡的 ln2 < 1 也必須寫嚴格不等號。

六、小結與自查清單

• □ 先把待證式寫成「左 − 右」，明確 F 與定義域。
• □ 求 F′ 後因式分解或通分化到能一眼判號的形式，再分區間。
• □ 必須回代最小值點的 F 值，並寫清等號／嚴格不等號能否取到。
• □ 端點不在定義域內時，用極限或連續性說明 F(0) 的含義。
• □ 證完取一兩個具體數值代回原式，快速驗證方向沒有反。

構造輔助函數不是湊靈感，而是一套固定動作：移項、設 F、求導判號、回代最小值。題1 的 F(0)=0、題2 的 F(1)=0、題3 兩側的 F(0)=0 都是同一個套路——把待證不等式變成「某個函數的最小值不小於零」。本組函數式與數值均為原創自編，並逐處做了回代驗算。