聯招數學·導數最優化應用題：容積、用料與利潤的建模

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

應用題的固定四步：①設變量並寫出定義域（長度、數量、價格的實際限制）；②把目標量寫成單變量函數；③求導找駐點；④驗證是最大/最小並回代實際量。第①步和第④步是丟分重災區。

驗證最值常用兩法：看導數在駐點兩側由正變負（極大）還是由負變正（極小），或算二階導符號；再補一句端點趨勢（開區間端點取不到時尤其要寫）。下面三題均為自編題，情境與數值自擬。

二、題目呈現

題1 無蓋盒容積（自編）

用一塊邊長為 24 cm 的正方形薄板，四角各剪去一個邊長為 x cm 的小正方形，折成一個無蓋長方體盒。求 x 取何值時盒的容積最大，並求最大容積。

題2 圓柱形罐用料（自編）

要做一個容積為 16π cm³ 的無蓋圓柱形容器（有底、無蓋），底面半徑 r、高 h。求 r 與 h 取何值時所用材料面積最小，並求最小面積（材料面積 = 底面積 + 側面積）。

題3 定價利潤（自編）

某自編情境中，某商品單價為 p 元時，預計銷量為 q = 120 − 2p 件（20 ≤ p ≤ 50），每件成本 20 元。求 p 取何值時總利潤最大，並求最大利潤；若固定成本另計 200 元，最優定價是否改變？

三、分步解析

題1　設剪去小正方形邊長 x，則盒底邊長 24 − 2x、高 x。定義域：0 < x < 12（x>0 且 24−2x>0）。容積 V(x) = x(24 − 2x)² = 4x(12 − x)² = 4(x³ − 24x² + 144x)。
V′(x) = 4(3x² − 48x + 144) = 12(x² − 16x + 48) = 12(x − 4)(x − 12)。在 (0,12) 內唯一駐點 x = 4（x=12 是端點，不在定義域內）。當 0<x<4 時 V′>0，4<x<12 時 V′<0，故 x=4 處 V′ 由正變負，取極大值且為最大值。
V(4) = 4 × (24 − 8)² = 4 × 256 = 1024 cm³。端點趨勢：x→0⁺ 或 x→12⁻ 時 V→0，進一步確認是最大值。答：剪去邊長 4 cm 時容積最大，為 1024 cm³。回代：底邊長 16 cm、高 4 cm，16×16×4 = 1024 ✓。

題2　由容積 πr²h = 16π 得 h = 16/r²，定義域 r > 0。材料面積 S(r) = πr² + 2πrh = πr² + 2πr·(16/r²) = πr² + 32π/r。
S′(r) = 2πr − 32π/r² = 2π(r³ − 16)/r²。令 S′=0 得 r³ = 16 → r = 16^(1/3) = 2·2^(1/3) = 2∛2 ≈ 2.52 cm。當 0<r<∛16 時 S′<0，r>∛16 時 S′>0，S′ 由負變正，取極小值且為最小值（r→0⁺ 或 r→+∞ 時 S→+∞，端點趨勢亦確認）。
h = 16/r² = 16/16^(2/3) = 16^(1/3) = r，即 h = r = ∛16 ≈ 2.52 cm。最小面積 S = π·16^(2/3) + 32π/16^(1/3)；因 32π/16^(1/3) = 2π·16^(2/3)，故 S_min = 3π·16^(2/3) = 3π·(2∛2)² = 12π·2^(2/3) ≈ 59.8 cm²。回驗：πr²h = π·(16^(2/3))·(16^(1/3)) = π·16 = 16π ✓。

題3　單件利潤 = p − 20，總利潤 L(p) = (p − 20)(120 − 2p) = −2p² + 160p − 2400，定義域 20 ≤ p ≤ 50（題給；p=20 時利潤為 0，p=50 時 q=20 件仍為正）。
L′(p) = −4p + 160，令 L′=0 得 p = 40，落在定義域內。L″(p) = −4 < 0，故 p=40 處取極大值且為閉區間最大值。q = 120 − 80 = 40 件，L(40) = (40−20)×40 = 800 元。端點核對：L(20)=0、L(50)=(30)×20=600，均小於 800 ✓。
固定成本 200 元：新利潤 L₁(p) = L(p) − 200，是把原函數整體下移一個常數，L₁′(p) = L′(p) 不變，駐點仍是 p=40，故最優定價不變（仍為 40 元），最大利潤變為 800 − 200 = 600 元。這一問考的是「常數不影響極值點」，答題要點明導數不變。

建模四步校驗　三題回看：題1 定義域 0<x<12 排除了 x=12 這個「偽駐點」；題2 用 r>0 與端點 +∞ 確認唯一極小即最小；題3 用閉區間端點值比對，避免只憑二階導就下結論。凡是「最大值/最小值」，答案裡必須同時出現駐點、驗證理由、實際量（帶單位）、端點/趨勢說明四件。

四、採分點對照

五、高頻易錯點

• 不寫定義域：題1 把 x=12 當成駐點，題3 忘記 p 的區間限制。
• 題1 把 V=x(24−2x)² 展開時漏係數 4，或求導後不會因式分解。
• 題2 忘記「無蓋」，把面積寫成 2πr²+2πrh，多算一個底。
• 題2 用容積消元后不寫 r>0，或用 S′=0 解出 r 卻不算 h。
• 只求駐點不驗證：不寫導數符號變化、二階導或端點趨勢，最值結論沒依據。
• 題3 把「銷量 q」當利潤，或把固定成本誤當成會移動最優定價（其實只下移常數）。
• 閉區間題只憑二階導就下結論，不比對端點值。
• 結果漏單位（cm、cm³、元），或答的是駐點而不是題目問的實際量。

六、小結與自查清單

• □ 第一句先寫「設…為 x，由實際意義 0<x<…」。
• □ 把目標量寫成只含一個變量的函數，消元步驟不跳。
• □ 求導後儘量因式分解，符號表才好列。
• □ 駐點必須驗證：符號變化或二階導，再加端點/趨勢。
• □ 閉區間應用題逐個算端點值比對。
• □ 常數項（固定成本）隻影響函數值，不影響極值點，單獨說明。
• □ 答案帶單位並回代原題條件核對一次。

最優化題真正拉分的是兩處「不性急」：動筆先寫定義域，收尾先驗最值。中間的求導其實最機械。把「設元—建模—求導—驗證—作答」寫成固定五步，再記住「常數不改變極值點」，這類應用題就變成了流程題。本組情境、函數式與數值均為原創自編仿真內容。