題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
分類討論不是「想到哪寫到哪」，它有固定的分依據：①參數讓最高次項消失（如 a=0 時二次變一次）；②導函數有沒有零點（判別式、參數的正負）；③零點是否落在給定區間或定義域內。三處逐一看，支數自然確定。
寫法上必須每支獨立寫結論，最後合併成一句總答案；只寫「綜上」不給過程分。下面三題均為自編題，參數自擬。
二、題目呈現
題1（自編）
設 f(x) = x³ − 3ax² + 3a²x + 1（a ∈ R）。求 f(x) 的極值，並討論 a 的取值對結果的影響。
題2（自編）
設 g(x) = a x − ln x（a ∈ R，x > 0）。討論 g(x) 的單調性與極值。
題3（自編）
設 h(x) = x³ − 3x + a，已知 h(x) 在區間 [0, 2] 上有且僅有一個極值點，求 a 的取值範圍；並說明端點值是否計入「極值點」。
三、分步解析
題1 f′(x) = 3x² − 6ax + 3a² = 3(x − a)² ≥ 0，對一切 x 成立，且僅在 x = a 處取 0。分依據：導函數是否有變號零點。因為 (x−a)² 不變號，f′(x) 在 x=a 兩側同為正（a 任意實數，包括 a=0 時 f′=3x² 亦僅在 0 處為 0 且不變號），故 f(x) 在 R 上單調遞增，無極值。結論與 a 無關，所有 a ∈ R 結論一致。回代驗算：取 a=1，f(x)=x³−3x²+3x+1=(x−1)³+2，是 (x−1)³ 平移，確實單調遞增、無極值 ✓；取 a=0，f(x)=x³+1，同樣無極值 ✓。
題2 定義域 x>0。g′(x) = a − 1/x = (ax − 1)/x。因 x>0，分母恆正，符號由 ax − 1 決定。分依據：a 與 0 的關係（決定 ax−1 是否能為零）。
① a ≤ 0：ax ≤ 0 < 1，故 ax−1 < 0 恆成立，g′(x)<0，g 在 (0,+∞) 上單調遞減，無極值。
② a > 0：令 ax−1=0 得 x = 1/a > 0（落在定義域內）。當 0<x<1/a 時 g′<0，x>1/a 時 g′>0，故在 x = 1/a 處取極小值，g(1/a) = a·(1/a) − ln(1/a) = 1 + ln a；無極大值。
回代驗算：取 a=1，g(x)=x−ln x，g′(1)=0，g(1)=1 為極小值；g(0.5)=0.5+0.693=1.193>1 ✓，g(2)=2−0.693=1.307>1 ✓。取 a=−1，g(x)=−x−ln x，g′=−1−1/x<0 恆成立 ✓。
題3 h′(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1)。在 [0, 2] 內，唯一變號零點是 x = 1（x=−1 不在區間內）。注意 a 隻影響函數值的上下平移，不影響導函數，因此 h′ 的零點與單調性與 a 完全無關：在 [0,1) 上 h′<0，(1,2] 上 h′>0，x=1 處 h′ 由負變正，是極小值點。故對任意 a ∈ R，h(x) 在 [0,2] 上有且僅有一個極值點 x=1，即 a 的取值範圍為 R（全體實數）。
端點說明：極值點是區間內部的變號零點，端點 0 與 2 不計入極值點；它們參與的是「最值」比較：h(0)=a，h(1)=a−2，h(2)=2+a，故最小值為 a−2、最大值為 2+a，但這與「極值點個數」無關。回代驗算：取 a=5，h(x)=x³−3x+5，h′=3(x²−1) 不變，x=1 處 h=3，h(0)=5、h(2)=7，仍是唯一極小點 ✓。
分類討論四步法 ① 求導並化簡到可判符號的因式形式（題1 化 3(x−a)²、題2 化 (ax−1)/x、題3 化 3(x−1)(x+1)）；② 找分依據：參數是否讓某因式消失、零點是否存在、零點是否在定義域/區間內；③ 逐支列符號表並寫出該支單調性與極值結論；④ 合併作答，每支結論獨立成句，最後寫「綜上」。絕不在未分支前就下結論。
四、採分點對照
| 題號 | 答案 | 採分點 |
|---|---|---|
| 題1 | 對一切 a ∈ R 單調遞增、無極值 | 求導並配方 2 分；指出 f′≥0 且不變號 2 分；討論 a=0 與 a≠0 均同結論 1 分；結論 1 分 |
| 題2 ① | a≤0：單調遞減、無極值 | 分出 a≤0 支 1 分；判 ax−1<0 1 分；結論 1 分 |
| 題2 ② | a>0：x=1/a 取極小值 1+ln a | 求零點 1/a 並驗在定義域 2 分；兩側符號表 2 分；極小值計算 1 分 |
| 題3 | a ∈ R；唯一極值點 x=1；端點不計入 | 指出 a 不影響 h′ 2 分；篩出區間內唯一零點 1 分；端點與極值點區分 2 分；合併結論 1 分 |
五、高頻易錯點
- 題1 看到 f′=0 有解就寫「x=a 是極值點」，忘了 (x−a)² 不變號——導數為零隻是必要不充分條件。
- 題2 忘記定義域 x>0，把 x=1/a 在 a<0 時也當零點（此時 1/a<0 不在定義域內）。
- 題2 把 a=0 單獨歸到 a>0 支裡，或用判別式討論一個本來就是一次的方程。
- 分類只寫「a>0 / a<0」兩支，漏掉 a=0 這一支。
- 題3 誤以為 a 會移動極值點，去解含 a 的區間條件，白算一圈。
- 把區間端點 0、2 當成極值點，混淆「極值」與「最值」。
- 只寫一個「綜上」結論，沒有逐支獨立結論，過程分被扣光。
六、小結與自查清單
| 分依據 | 觸發信號 | 本題對應 |
|---|---|---|
| 參數使最高次項消失 | a=0 時次數下降 | 題2 的 a≤0 / a>0 |
| 導函數零點是否存在 | 判別式、因式是否能為零 | 題1 的 (x−a)² 恆 ≥0 |
| 零點是否落在定義域/區間 | x>0、[0,2] 等限制 | 題2 的 1/a、題3 的 x=−1 排除 |
| 零點是否變號 | 偶次因式 / 重根 | 題1 無極值、題3 x=1 變號 |
| 參數隻影響函數值 | 導函數不含參數 | 題3 中 a 為常數項 |
- □ 求導後先化成因式乘積或分式，再判符號。
- □ 逐一問三件事：a=0 嗎？零點存在嗎？零點在定義域內嗎？
- □ 每支獨立寫符號表與結論，最後才合併。
- □ 導數為零不等於極值，必須檢查兩側是否變號。
- □ 有區間時先篩掉區間外的零點，再區分極值點與最值點。
- □ 結論回代一個具體參數值驗算，30 秒確認分支沒漏。
含參題真正的考點是「你憑什麼分這幾支」。把分依據寫成顯式三問——參數會不會讓式子退化、零點存不存在、零點在不在範圍內——支數就不會多也不會少。再加一句「導數為零未必是極值」，這類題的分就齊了。本組題目、函數式與參數均為原創自編仿真內容。
