題目性質：自編仿真題——按課程標準與聯招常見考點範圍編寫，非真題原文；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、建模四步
① 畫出示意圖，把建築物、觀測點、航線標成點線；② 把文字角翻成三角形內角：仰角/俯角是與水平線的夾角、方位角從正北順時針量、方向角（如「北偏東 30°」）要換算成內角；③ 列出已知邊角，判該用正弦還是餘弦定理；④ 算出結果並回場景驗合理性（高度為正、距離量級對、角度和不超過 180°）。
二、題1 測高：兩次仰角
題目 為測一座塔的高度，在地面上取 A、B 兩點，A、B 與塔底 D 在同一直線上，AB = 30 m。在 A 處測得塔頂 C 的仰角為 30°，在 B 處（更靠近塔）測得仰角為 45°。求塔高 CD（結果保留根號）。
審題眼 A、B、D 共線且 B 更靠近塔 → AD = AB + BD；仰角是與水平線夾角，故 △ACD、△BCD 都是直角三角形（D 為直角）。
規範作答
設塔高 CD = h，BD = x，則 AD = 30 + x。
在 Rt△BCD 中：tan45° = h/x = 1 → x = h。
在 Rt△ACD 中：tan30° = h/(30 + x) = 1/√3 → 30 + x = √3 h。
代入 x = h：30 + h = √3 h → 30 = (√3 − 1)h → h = 30/(√3 − 1) = 30(√3+1)/[(√3−1)(√3+1)] = 30(√3+1)/2 = 15(√3 + 1) m。
驗算 h = 15(√3+1) ≈ 15×2.732 ≈ 40.98 m，x = h ≈ 40.98 m，AD = 70.98 m；tan30° = 40.98/70.98 ≈ 0.577 ≈ 1/√3 ✓；tan45° = 40.98/40.98 = 1 ✓。高度為正、且比兩次觀測距離都小，合理。
另法（正弦定理，用於互驗） 在 △ABC 中，∠A = 30°，∠CBD = 45° 故 ∠ABC = 180° − 45° = 135°，∠ACB = 180° − 30° − 135° = 15°。由正弦定理 BC/sin30° = AB/sin15° 得 BC = 30·sin30°/sin15° = 15/sin15°；又 h = BC·sin45° = 15·(√2/2)/sin15°。由 sin15° = (√6−√2)/4 得 h = (15√2/2)·4/(√6−√2) = 30√2/(√6−√2) = 30√2(√6+√2)/4 = 15(√3+1) ✓ 兩法一致。
採分點 畫示意圖並設 h、x（1分）；寫出 AD=30+x（1分，共線關係是題眼）；兩個正切方程（各2分）；解方程並有理化（2分）；結果 15(√3+1) m（1分）；驗算（1分）。
易錯點 ① 把 AD 寫成 30 − x（沒判斷 B 更靠近塔）；② 仰角當成與豎直方向的夾角（正切變餘切）；③ 結果不有理化；④ 忘記寫單位與「保留根號」的要求。
三、題2 不可達距離：基線法
題目 為測河對岸兩點 P、Q 之間的距離（P、Q 均不可到達），在近岸取 A、B 兩點，AB = 100 m。測得 ∠PAB = 60°、∠PBA = 30°、∠QAB = 30°、∠QBA = 75°。求 PQ（結果精確到 1 m，√2≈1.414、√3≈1.732、√6≈2.449）。
審題眼 兩組角分別在 △PAB 與 △QAB 裡，先各自用正弦定理求出 AP、AQ，再在 △APQ 裡用餘弦定理求 PQ。∠PAQ = ∠PAB − ∠QAB = 60° − 30° = 30°（兩點在同一側）。
規範作答
第一步：求 AP（在 △PAB 中） ∠APB = 180° − 60° − 30° = 90°。
AP/sin∠PBA = AB/sin∠APB → AP = AB·sin30°/sin90° = 100 × 0.5/1 = 50 m。
第二步：求 AQ（在 △QAB 中） ∠AQB = 180° − 30° − 75° = 75°。
AQ/sin∠QBA = AB/sin∠AQB → AQ = 100·sin75°/sin75° = 100 m。（△QAB 中 ∠QBA = ∠AQB = 75°，為等腰三角形，故 AQ = AB = 100 m，可直接看出。）
第三步：求 PQ（在 △APQ 中，∠PAQ = 30°）
PQ² = AP² + AQ² − 2·AP·AQ·cos30° = 50² + 100² − 2×50×100×(√3/2) = 2500 + 10000 − 5000√3 = 12500 − 5000√3。
代入 √3≈1.732：PQ² ≈ 12500 − 8660 = 3840 → PQ ≈ √3840 ≈ 62 m（61.97，精確到 1 m）。
驗算 PQ 應小於 AP + AQ = 150 m 且大於 |AQ − AP| = 50 m，62 m 落在區間內 ✓；∠PAQ=30° 較小，故 PQ 略大於 AQ−AP=50 m，合理。另用近似校驗：√(12500−5000×1.732)=√3840≈61.97 ✓。
採分點 畫示意圖、拆成三個三角形（2分）；求 ∠APB=90° 與 AP=50 m（2分）；求 ∠AQB=75° 與 AQ=100 m（2分）；∠PAQ = 60°−30° = 30°（2分，本題題眼）；餘弦定理代入（2分）；結果≈62 m 與精確度（1分）；三角不等式驗算（1分）。
易錯點 ① 把 ∠PAQ 寫成 60°+30°=90°（沒判斷 P、Q 在 AB 同側）；② 兩次正弦定理用錯對應角（分子分母搞反）；③ 忘記先求 AP/AQ 就直接對 PQ 用餘弦定理；④ 結果不按「精確到 1 m」取整。
四、題3 方位角與航行
題目 一艘船從港口 O 出發，先沿北偏東 30°方向航行 20 海里到 A，再沿南偏東 60°方向航行 20 海里到 B。求：
(1) ∠OAB 的大小；
(2) OB 的距離；
(3) B 相對 O 的方位（用方向角表示）。
審題眼 方向角換算：北偏東 30°＝從正北向東轉 30°；南偏東 60°＝從正南向東轉 60°。兩條航向恰好互相垂直（30° + 60° = 90°，可畫南北平行線用內錯角驗證）。
(1) 規範作答 過 A 作南北方向平行線：OA 與「A 點正南方向」的夾角為 30°（內錯角），AB 與「A 點正南方向」的夾角為 60°，兩者分居南北線兩側，故
∠OAB = 180° − (30° + 60°)？需仔細核對：OA 方向是從 O 看 A 為北偏東 30°，則從 A 看 O 為南偏西 30°；AB 從 A 看 B 為南偏東 60°。以 A 點正南方向為基準，AO 在其西側 30°，AB 在其東側 60°，故 ∠OAB = 30° + 60° = 90°。
(2) 規範作答 △OAB 中 OA = AB = 20 海里，∠OAB = 90°，為等腰直角三角形：
OB = √(20² + 20²) = 20√2 ≈ 28.3 海里；且 ∠AOB = 45°。
(3) 規範作答 OA 相對正北偏東 30°，而 OB 相對 OA 再向東偏 45°（因 ∠AOB=45° 且 B 在 A 的東南側），故 OB 相對正北偏東 30° + 45° = 75°，即 B 在 O 的北偏東 75°（等價於東偏北 15°）方向。
驗算 用座標法：取 O 為原點、x 向東、y 向北。A = (20 sin30°, 20 cos30°) = (10, 10√3)。AB 方向南偏東 60° 即與正東夾角 30° 向下：位移 = (20 cos30°, −20 sin30°) = (10√3, −10)。故 B = (10+10√3, 10√3−10) ≈ (27.32, 7.32)。|OB| = √(27.32²+7.32²) = √(746.4+53.6) = √800 = 20√2 ≈ 28.28 ✓；tan(偏東角相對正北) = x/y = 27.32/7.32 ≈ 3.73 → 角度 ≈ 75° ✓ 與幾何法一致。
採分點 (1) 方向角換算與 ∠OAB=90°（3分，本題核心）；(2) 勾股/餘弦定理與 OB=20√2（2分）；(3) 北偏東 75°（2分）；座標法驗算（2分）；單位與結論（1分）。
易錯點 ① 把兩個方向角直接相加當內角或誤算成 180°−90°；② 忘記「從 A 看 O」要反向（南偏西 30°）；③ 方位角從正北順時針量與「北偏東」混用；④ 不驗算，把 75° 寫成 15°（那是相對正東的角）。
五、實際應用題清單
- □ 先畫示意圖，標出所有點、水平線、南北線；
- □ 角的定義逐個翻：仰角/俯角對水平線、方位角從正北順時針、方向角「北偏東 α」；
- □ 「從 A 看 O」要把方向整體反向（北偏東 ↔ 南偏西）；
- □ 共線問題先判誰更靠近（AD = AB + BD 還是 AB − BD）；
- □ 不可達距離：先各用正弦定理求兩條「可達邊」，再用餘弦定理求目標邊；
- □ 兩角相減得夾角時，先判斷兩點在基線同側還是異側；
- □ 用座標法給方位角題做獨立驗算，最不容易出錯；
- □ 結果按題目要求保留根號或取近似，帶單位；用三角不等式或量級回驗。
應用題真正考的是翻譯：把「北偏東」「仰角」「更靠近塔」這些話翻成三角形裡的邊和角。圖畫對了，剩下的只是正弦餘弦。
