題目性質：自編仿真題——按課程標準與聯招常見考點範圍編寫，非真題原文；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、三件工具
餘弦定理 a² = b² + c² − 2bc cosA（及其變形 cosA = (b²+c²−a²)/(2bc)）；面積 S = ½bc sinA；基本不等式 b+c ≥ 2√(bc)，等號當且僅當 b = c。判形狀時別隻看最大角：cosA < 0 ⇔ A 為鈍角 ⇔ a² > b² + c²（a 為最大邊）。
二、題1 兩邊夾角：先餘弦後面積
題目 在 △ABC 中，b = 3，c = 5，A = 60°。求 a、△ABC 的面積 S 及 sinB。
審題眼 兩邊及夾角 → 餘弦定理；面積用 S = ½bc sinA（夾角正是 A，不用再求）。
規範作答
a² = b² + c² − 2bc cosA = 9 + 25 − 2×3×5×(1/2) = 34 − 15 = 19 → a = √19。
S = ½ b c sinA = ½ × 3 × 5 × (√3/2) = 15√3 / 4。
由正弦定理 b/sinB = a/sinA 得 sinB = b sinA / a = 3 × (√3/2)/√19 = 3√3 / (2√19) = 3√57 / 38（有理化後）。
驗算 ① 由 a²=19、b²=9、c²=25，最大邊為 c=5：cosC = (a²+b²−c²)/(2ab) = (19+9−25)/(2·√19·3) = 3/(6√19) > 0，C 為銳角；三角形三內角皆銳，合理。② 用面積反算 sinB：S = ½ a c sinB → sinB = 2S/(ac) = (15√3/2)/(5√19) = 3√3/(2√19) ✓ 兩法一致。③ 三邊關係：3 + √19 ≈ 7.36 > 5 ✓。
採分點 寫出餘弦定理（1分）；a=√19（2分）；面積公式與結果（2分）；正弦定理求 sinB（2分）；驗算或結果化簡（1分）。
易錯點 ① 餘弦定理漏掉係數 2 或把 cos60° 寫成 √3/2（應為 1/2）；② 面積誤用 ½ab sinA（夾角 A 的鄰邊是 b、c，不是 a、b）；③ 求 sinB 時用錯對應邊；④ 結果不化簡、不驗三邊關係。
三、題2 已知三邊求角並判形狀
題目 在 △ABC 中，a = 7，b = 5，c = 3。求最大角，並判斷三角形形狀。
審題眼 最大邊是 a=7 → 最大角為 A；三邊已知 → 餘弦定理求 cosA。
規範作答
cosA = (b² + c² − a²)/(2bc) = (25 + 9 − 49)/(2×5×3) = (−15)/30 = −1/2。
因 A ∈ (0, π) 且 cosA = −1/2，故 A = 120°。
最大角為 120° > 90°，故 △ABC 為鈍角三角形。
另法（面積互驗） S = ½bc sinA = ½×5×3×(√3/2) = 15√3/4。用海倫公式：p = (7+5+3)/2 = 15/2，S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) = √[(15/2)(1/2)(5/2)(9/2)] = √(675/16) = 15√3/4 ✓ 一致。
驗算 由 A=120°，B+C=60°；由正弦定理 sinB = b sinA/a = 5×(√3/2)/7 = 5√3/14 ≈ 0.619 → B ≈ 38.2°，C ≈ 21.8°，三角和為 180° ✓；最大邊對最大角 ✓。
採分點 指出最大邊與最大角（1分）；寫出 cosA 公式（2分）；算出 −1/2（1分）；A=120°（1分）；判鈍角（1分）；驗算或另法（1分）。
易錯點 ① 把最大角找錯（找成 C）；② cosA 分子寫成 a²−b²−c²（符號反，得 +1/2 誤判銳角）；③ 得到 cosA<0 卻不敢判鈍角；④ 忘記 A∈(0,π) 時 cosA=−1/2 唯一對應 120°。
四、題3 周長一定時的面積最值
題目 若 △ABC 的周長為定值 2p = 12，求面積 S 的最大值，並指出取等條件。
審題眼 「周長定值求面積最大」→ 等邊三角形。可用海倫公式 + 基本不等式嚴格證明，別隻寫結論。
規範作答（海倫公式 + 基本不等式）
設半周長 p = 6，由海倫公式
S² = p(p−a)(p−b)(p−c) = 6·(6−a)(6−b)(6−c)。
令 x = 6−a，y = 6−b，z = 6−c，則 x+y+z = 18 − (a+b+c) = 18 − 12 = 6，且 x,y,z > 0。
由三元基本不等式 xyz ≤ [(x+y+z)/3]³ = (6/3)³ = 8，等號當且僅當 x = y = z = 2，即 a = b = c = 4。
故 S² ≤ 6 × 8 = 48，S ≤ √48 = 4√3，當且僅當 a = b = c = 4（等邊三角形）時取到。
驗算 邊長 4 的等邊三角形面積 = (√3/4)×4² = 4√3 ✓；周長 3×4=12 ✓。另取不等邊例子 a=5,b=4,c=3：p=6，S²=6·1·2·3=36，S=6 < 4√3≈6.93 ✓ 確實更小。
採分點 寫出海倫公式（2分）；設 x,y,z 並算出 x+y+z=6（2分）；三元基本不等式及等號條件（3分，本題核心）；最大值 4√3（1分）；取等條件 a=b=c=4（1分）；驗算（1分）。
易錯點 ① 直接寫「等邊時最大」不給證明（結論對但過程分全丟）；② 忘記驗證等號條件能否達到（本題 a=b=c=4 滿足三角形條件，必須寫）；③ 把 p 當成周長（p 是半周長，本題 p=6 不是 12）；④ 海倫公式裡 (p−a)(p−b)(p−c) 漏乘 p。
五、餘弦定理題書寫清單
- □ 先判條件：兩邊夾角／三邊 → 餘弦定理；兩角一邊／SSA → 正弦定理；
- □ 面積看準夾角：S = ½bc sinA，兩邊必須是該角的鄰邊；
- □ 三邊求角用變形式 cosA = (b²+c²−a²)/(2bc)，先找最大邊定最大角；
- □ 判形狀：cosA<0 ⇔ a²>b²+c² ⇔ 鈍角；不要只憑直覺；
- □ 周長定值求最值：海倫公式 + (x+y+z)/3 ≥ ∛(xyz)，等號條件必須寫出並驗證可實現；
- □ 用兩種方法互驗：正弦定理反算、海倫公式、等邊面積公式任選其一；
- □ 結果化簡、帶單位，結論句寫全「當且僅當……時取得」。
餘弦定理題的計算不難，給分點全在公式選對、夾角認準、等號條件驗到。把這三件寫成固定動作，綜合題也不亂。
