聯招數學·導數應用（三）：函數零點與方程根的個數

題目性質：自編仿真題——按課程標準與聯招常見考點範圍編寫，非真題原文；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、總綱：把「根的個數」變成「交點個數」

方程 f(x) = k 的實根個數 ⇔ 曲線 y = f(x) 與水平直線 y = k 的交點個數。做法固定三步：① 求導、解 f′(x)=0，列單調錶；② 算出所有極大值、極小值及必要的端點/極限趨勢（x→±∞ 時 f 的走向）；③ 畫草圖，讓 y=k 從下往上平移，數交點，並把相切（k 恰等於極值）的臨界情形單列。臨界值必須單獨驗，不能含在「大於/小於」裡。

二、題1 三次函數與 y=k

題目　設 f(x) = x³ − 3x + 1。討論方程 f(x) = k 的實根個數（k ∈ R）。

規範作答

f′(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1)，駐點 x = −1、x = 1。

且 f(−1) = −1+3+1 = 3，f(1) = 1−3+1 = −1；x→−∞ 時 f(x)→−∞，x→+∞ 時 f(x)→+∞。

用水平線 y=k 平移數交點：

① k > 3：只在右側遞增段穿過一次 → 1 個實根；
② k = 3：與極大點相切 1 處，右側遞增段再穿 1 次 → 2 個實根（一個重根）；
③ −1 < k < 3：三段各穿一次 → 3 個實根；
④ k = −1：與極小點相切 1 處，左側遞增段再穿 1 次 → 2 個實根；
⑤ k < −1：只在左側遞增段穿過一次 → 1 個實根。

驗算臨界：k=3 時 f(x)−3 = x³−3x−2 = (x+1)²(x−2)，根為 x=−1（二重）與 x=2，共 2 個不同實根 ✓；k=−1 時 f(x)+1 = x³−3x+2 = (x−1)²(x+2)，根為 x=1（二重）與 x=−2 ✓。因式分解與圖象結論完全一致。

採分點　求導與駐點（2分）；完整單調錶（3分，表本身即給分）；算出極大 3、極小 −1（2分）；寫出 x→±∞ 趨勢（1分，沒有它無法說明兩側各有一支）；五種情形分類（3分）；臨界值單獨討論（2分）。

易錯點　① 把「k=3」併入「k≥3」，漏掉 2 根的臨界情形（最高發）；② 不寫 ±∞ 趨勢，只憑極值猜；③ 把「不同實根個數」與「根的重數」混答；④ 單調錶漏 f′=0 的列。

三、題2 含參零點個數討論

題目　設 g(x) = ln x − a x + 1（x > 0），討論 g(x) 的零點個數（a ∈ R）。

審題眼　先寫定義域 x>0；零點 ⇔ g 的最大/最小值與 0 比較；a 使導數變號的臨界值必須分類。

規範作答

g′(x) = 1/x − a = (1 − a x)/x，x > 0，符號由 1 − a x 決定。

① a ≤ 0：1 − a x > 0 恆成立，g 在 (0,+∞) 遞增。又 x→0⁺ 時 ln x→−∞ 故 g→−∞；x→+∞ 時 ln x − a x + 1 → +∞（a<0 時 −a x→+∞；a=0 時 ln x→+∞）。由零點存在定理，恰 1 個零點。
② a > 0：x = 1/a 為唯一駐點；0<x<1/a 時 g′>0，x>1/a 時 g′<0，故 x=1/a 處取全局最大值
g(1/a) = ln(1/a) − 1 + 1 = −ln a。
且 x→0⁺ 時 g→−∞，x→+∞ 時 −a x 主導，g→−∞。

於是：最大值 −ln a < 0（即 a > 1）時曲線全在 x 軸下方 → 0 個零點；
−ln a = 0（即 a = 1）時曲線與 x 軸相切於 x=1 → 1 個零點；
−ln a > 0（即 0 < a < 1）時兩端趨於 −∞、中間高於 0 → 兩側各穿一次 → 2 個零點。

驗算 a=1：g(x)=ln x − x + 1，即 example-00010 題3 已證的 ln x ≤ x−1，等號僅 x=1，故恰 1 個零點 ✓。

採分點　定義域（1分）；求導通分（1分）；a≤0 一類並寫兩端極限（2分）；a>0 求最大值 −ln a（2分）；寫出兩端趨於 −∞（1分，沒有它不能判 0 個/2 個）；三類結論（3分）。

易錯點　① 漏定義域；② a=0 未單獨歸入 a≤0；③ 求出最大值就下結論，不寫兩端極限（0 個與 2 個的分界全靠它）；④ 忘記「相切＝1 個零點」的臨界情形。

四、題3 由零點條件反求參數

題目　若函數 h(x) = x³ − 3x + a 恰有兩個零點，求 a 的值。

審題眼　「恰有兩個零點」對三次函數而言只能是相切情形——水平線 y=0 恰過極大點或極小點。

規範作答

h′(x)=3x²−3，駐點 x=−1、1；極大值 h(−1) = −1+3+a = 2+a，極小值 h(1) = 1−3+a = a−2；x→±∞ 時 h→∓∞（先 −∞ 後 +∞）。

三次函數恰有兩個不同零點，當且僅當極大值 = 0 或 極小值 = 0（曲線與 x 軸相切於一個駐點，並在另一支再穿一次）：
① 2 + a = 0 → a = −2；② a − 2 = 0 → a = 2。

驗算　a=2 時 h(x)=x³−3x+2=(x−1)²(x+2)，零點 x=1（二重）、x=−2，共 2 個 ✓；a=−2 時 h(x)=x³−3x−2=(x+1)²(x−2)，零點 x=−1（二重）、x=2 ✓。若 −2<a<2 則 3 個零點，a>2 或 a<−2 則 1 個，均不合。

採分點　求出兩個極值表達式（2分）；指出「恰兩個 ⇔ 某一極值為 0」（2分，本題題眼）；解出 a=±2（2分）；因式分解驗算（1分）；說明其餘情形個數（1分）。

易錯點　① 直接用 Δ 或憑圖象猜；② 只解出 a=2 漏 a=−2；③ 把「二重根」算成兩個零點；④ 不驗算，寫成 a∈(−2,2)（那是 3 個零點）。

五、零點題書寫清單

• □ 先把方程寫成 f(x)=k ⇔ y=f(x) 與 y=k 的交點；
• □ 列完整單調錶（含 f′=0 的列），算出全部極值；
• □ 必寫 x→±∞ 或端點的趨勢，否則無法判定兩側分支；
• □ 分類按極值切：大於極大 / 等於極大 / 兩極值之間 / 等於極小 / 小於極小 五檔，臨界單獨列；
• □ 相切＝重根＝不同零點少一個，用因式分解回驗；
• □ 含參題先寫定義域，再按導數變號的臨界參數分類，a=0 歸到一類裡；
• □ 反求參數題用「恰有兩個 ⇔ 某一極值為 0」直接落筆，別繞判別式。

零點個數題，算的部分只有求導和極值；真正給分的是單調錶、兩端趨勢、臨界值單獨討論這三件書寫功夫。