題目性質：自編仿真題——按課程標準與聯招常見考點範圍編寫，非真題原文；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、一句話總綱
「f(x) ≥ 0 對任意 x∈D 恆成立」 ⇔ f(x) 在 D 上的最小值 ≥ 0；「存在 x 使 f(x) ≥ 0」 ⇔ 最大值 ≥ 0。含參時兩條路：能分離參數就分離（把 a 單獨留在一邊，另一邊求最值），不能分離就構造新函數直接研究單調性。等號能否取到、端點是否包含在 D 內，必須寫清。
二、題1 分離參數法
題目 若不等式 x² − a x + 1 ≥ 0 對任意 x ∈ (0, 2] 恆成立，求實數 a 的取值範圍。
審題眼 x > 0，可兩邊除以 x分離 a；區間是左開右閉，端點要不要取到必須交代。
規範作答
因 x ∈ (0, 2]，x > 0，原不等式等價於 a ≤ (x² + 1)/x = x + 1/x 對任意 x ∈ (0, 2] 恆成立。
設 h(x) = x + 1/x，則條件等價於 a ≤ h(x)min。
h′(x) = 1 − 1/x² = (x² − 1)/x²。當 0 < x < 1 時 h′ < 0（遞減），當 1 < x ≤ 2 時 h′ > 0（遞增），故 h(x) 在 x = 1 處取得最小值 h(1) = 1 + 1 = 2。
所以 a ≤ 2。
驗算與端點討論 ① x=1 屬於 (0,2]，最小值能取到，故 a=2 時不等式為 x² −2x +1 = (x−1)² ≥ 0，恆成立 ✓；② 若 a > 2，取 x=1 即得 2 − a < 0，不成立 ✓；③ x→0⁺ 時 h(x)→+∞，不構成約束；右端點 x=2 時 h(2)=2.5 > 2，也不構成約束。
採分點 由 x>0 說明可除、完成分離（2分）；寫出「a ≤ h(x)min」這一轉化（2分，本題最關鍵一步）；求導並判單調區間（2分）；求出最小值 2（1分）；結論 a ≤ 2 並說明等號可取（2分）。
易錯點 ① 分離時不等號方向弄反（除以正數不變號，但很多同學下意識反過來）；② 寫成 a ≥ hmin（把「恆成立」與「存在」搞混）；③ 只求極值不驗證它是不是區間內最小值；④ 忘記說明 x=1 在區間內、等號成立。
三、題2 不能分離時：構造新函數
題目 設 f(x) = ex − a x − 1。若 f(x) ≥ 0 對任意 x ∈ R 恆成立，求 a 的取值範圍。
審題眼 x 可取 0 與負值，無法把 a 乾淨地除到一邊（除 x 要變號、x=0 還除不得）。改走構造法，直接研究 f 的最小值，並對 a 分類。
規範作答
f′(x) = ex − a，且 f(0) = 1 − 0 − 1 = 0。注意到 f(0)=0 是本題題眼：既然要求 f(x) ≥ 0 恆成立，x=0 必須是最小值點（或之一），否則 0 附近必出現負值。
① a ≤ 0：ex > 0 ≥ a，故 f′(x) = ex − a > 0 恆成立，f 在 R 上單調遞增。於是 x < 0 時 f(x) < f(0) = 0，不滿足。
② a > 0：令 f′(x)=0 得 x = ln a。x < ln a 時 f′<0（遞減），x > ln a 時 f′>0（遞增），故 f 在 x = ln a 處取得全局最小值 f(ln a) = a − a ln a − 1 = a(1 − ln a) − 1。
要求 f(ln a) ≥ 0，即 a(1 − ln a) ≥ 1。設 φ(a) = a(1 − ln a) − 1（a>0），φ′(a) = (1 − ln a) + a·(−1/a) = −ln a。
當 0 < a < 1 時 φ′ > 0（遞增），a > 1 時 φ′ < 0（遞減），故 φ(a) 在 a = 1 取最大值 φ(1) = 1·(1−0) −1 = 0。因此 φ(a) ≥ 0 僅當 a = 1。
綜上，a = 1（此時 f(x)=ex − x − 1 ≥ 0，即題3 的經典不等式）。
採分點 寫出 f(0)=0 並指出 x=0 須為最小值點（2分，最值思路的題眼）；對 a 分類（2分）；a>0 時求極小點 ln a 與最小值表達式（2分）；構造 φ(a) 並求其最大值 0（2分）；結論 a=1（1分）；驗證（1分）。
易錯點 ① 強行分離參數、忽略 x=0 與除 x 變號；② 漏掉 a ≤ 0 一類（此時 f 單調遞增，左側必為負）；③ 求出 f(ln a) 後直接令其 =0 而不論證「只有 a=1 能滿足 ≥0」；④ 忘記 f(0)=0 這個免費條件，繞遠路。
四、題3 用導數證明不等式（含變式）
題目 (1) 證明：對任意 x ∈ R，ex ≥ x + 1。
(2) 利用 (1) 的結論證明：當 x > 0 時，ln x ≤ x − 1。
(1) 規範作答
構造 g(x) = ex − x − 1。g′(x) = ex − 1。
x < 0 時 ex < 1，g′ < 0（遞減）；x > 0 時 ex > 1，g′ > 0（遞增）。故 g(x) 在 x = 0 處取得全局最小值 g(0) = 1 − 0 − 1 = 0。
因此 g(x) ≥ 0，即 ex ≥ x + 1，等號當且僅當 x = 0 時成立。
(2) 規範作答（換元遷移）
在 (1) 中令 x = ln t（t > 0），得 eln t ≥ ln t + 1，即 t ≥ ln t + 1，整理得 ln t ≤ t − 1。把 t 改寫為 x，即 ln x ≤ x − 1（x > 0），等號當且僅當 x = 1 時成立。
另法（構造法，用於互驗）：設 u(x) = ln x − x + 1（x>0），u′(x) = 1/x − 1 = (1−x)/x。0<x<1 時 u′>0，x>1 時 u′<0，故 u 在 x=1 取最大值 u(1)=0，即 u(x) ≤ 0，得 ln x ≤ x − 1 ✓ 兩法一致。
採分點 (1) 構造 g 並求導（2分）；分區間判單調（2分）；指出 x=0 為最小值點並算出 g(0)=0（2分）；寫出結論與等號條件（1分）；(2) 正確換元 t = ex 方向的替換（1分）；整理與等號條件（1分）。
易錯點 ① 只證了 x ≥ 0 一側（必須兩側單調都寫）；② 不寫「全局最小」，只說「x=0 時等於 0」；③ 漏等號成立條件；④ (2) 換元方向寫反（令 x = et 而不是 t = ex，需保持一致）。
五、恆成立／證明題書寫清單
- □ 先把文字翻成最值：∀ 恆成立 ⇔ 最小值 ≥ 0；∃ 成立 ⇔ 最大值 ≥ 0；
- □ 含參先看能否分離參數；除以變量前確認符號，含 0 的區間不要硬除；
- □ 不能分離就構造新函數，求導 → 判單調 → 求最值，參數按使導數變號的臨界值分類；
- □ 善用免費條件：f(0)=0、端點值、特殊點代入，常直接指出最小值點；
- □ 端點開閉與等號能否取到必須寫：a ≤ 2 與 a < 2 只差一字，分就差在這裡；
- □ 證明不等式收尾寫「等號當且僅當 x = …」；
- □ 用換元或第二構造法回驗一遍，30 秒能查出單調區間判反。
恆成立與不等式證明，看著是兩類題，其實都是「把不等式變成一個函數的最小值問題」。會轉化，壓軸題的第一問就穩了。
