題目性質：自編仿真題——按課程標準與聯招常見考點範圍編寫，非真題原文；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、先分清兩句話
「求曲線 y=f(x) 在點 P 處的切線」：P 已知在曲線上，切點就是 P，斜率 f′(xP)，只有一條。
「求曲線 y=f(x) 過點 P 的切線」：P 未必在曲線上，切點未知，必須設切點 (a, f(a)) 再令切線通過 P，解出幾個 a 就有幾條切線。本組題1 專練後者。
二、題1 過點切線：設切點，解出兩個 a
題目 已知 f(x) = x³ − 3x，求過點 P(2, 2) 的切線方程。
審題眼 「過」字。先驗證 P 是否在曲線上：f(2) = 8 − 6 = 2，P 恰在曲線上——但即便如此，仍可能有另一條切線從別處切過來經過 P，不能只算 P 這一處。
規範作答
設切點為 (a, a³ − 3a)。f′(x) = 3x² − 3，故切線斜率 k = 3a² − 3，切線方程為
y − (a³ − 3a) = (3a² − 3)(x − a)。
令切線過 P(2, 2)，代入得
2 − (a³ − 3a) = (3a² − 3)(2 − a)
→ 2 − a³ + 3a = 6a² − 6 − 3a³ + 3a
→ 2a³ − 6a² + 8 = 0 → a³ − 3a² + 4 = 0。
因式分解：a³ − 3a² + 4 = (a + 1)(a² − 4a + 4) = (a + 1)(a − 2)² = 0，得 a = −1 或 a = 2（二重根）。
① a = 2：切點 (2, 2)，k = 3·4 − 3 = 9，切線 y − 2 = 9(x − 2)，即 y = 9x − 16；
② a = −1：切點 (−1, −1 + 3) = (−1, 2)，k = 3·1 − 3 = 0，切線 y = 2。
答案 y = 9x − 16 與 y = 2，共兩條。
驗算 y = 9x − 16 過 P：9×2 − 16 = 2 ✓；y = 2 顯然過 P，且與曲線在 x = −1 處相切（f(−1)=2，f′(−1)=0，水平切線）✓。另外注意 (a−2)² 是二重根，不產生第三條切線，只說明在 x=2 處切線與曲線的接觸性質特殊（此處 f″(2)=12≠0，實際是普通切點，重根來自方程結構）。
採分點 設切點並寫出 f′(a)（2分）；寫出切線方程（1分）；代入 P 化為三次方程（2分）；因式分解求出全部 a（2分）；分別寫出兩條切線（2分）；結論句（1分）。
易錯點 ① 直接用 f′(2)=9 只寫一條（最高發，漏解）；② 把「過」看成「在」；③ 三次方程只試出 a=2 就停，不做因式分解、漏 a=−1；④ 切點座標算成 (a, 3a²−3)（把導數當函數值）。
三、題2 含參單調性：分類要寫全
題目 設 f(x) = ln x − a x（a ∈ R），討論 f(x) 的單調性。
審題眼 定義域 x > 0 先寫；參數 a 的符號決定 f′ 的符號，必須分類。
規範作答
定義域為 (0, +∞)。f′(x) = 1/x − a = (1 − a x)/x。因 x > 0，f′(x) 的符號由分子 1 − a x 決定。
① a ≤ 0：對任意 x > 0，−a x ≥ 0，故 1 − a x ≥ 1 > 0，f′(x) > 0 恆成立，f(x) 在 (0, +∞) 上單調遞增。
② a > 0：令 f′(x) = 0 得 x = 1/a。
當 0 < x < 1/a 時，1 − a x > 0，f′(x) > 0，f(x) 遞增；
當 x > 1/a 時，1 − a x < 0，f′(x) < 0，f(x) 遞減。
綜上：a ≤ 0 時在 (0, +∞) 遞增；a > 0 時在 (0, 1/a) 遞增、(1/a, +∞) 遞減，且在 x = 1/a 處取得極大值 f(1/a) = ln(1/a) − 1 = −ln a − 1。
採分點 定義域（1分，漏寫直接扣分）；求導並通分（1分）；指出分母恆正、只看分子（1分）；a ≤ 0 一類（2分）；a > 0 一類並求臨界點 1/a（2分）；分區間寫單調性（2分）；綜上結論（1分）。
易錯點 ① 漏定義域，把 x < 0 也納入討論；② 忘記討論 a = 0（它屬於 a ≤ 0，不能漏）；③ 直接寫「當 a>0 時 x=1/a」卻不說明 1/a > 0 一定在定義域內；④ 把「極大值」寫成「最大值」——本函數在 a>0 時確有全局最大值（先增後減且端點趨於 ±∞，可判為最大），但需說明，不能順手改詞。
四、題3 閉區間最值：列表比完再下結論
題目 求 f(x) = x³ − 3x + 1 在 [−2, 2] 上的最大值與最小值。
審題眼 閉區間最值 = 所有極值點 + 兩個端點一起比，不能只比極值。
規範作答
f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1)，令 f′(x)=0 得 x = −1、x = 1，均在 [−2, 2] 內。
| x | −2（端點） | −1（極大點） | 1（極小點） | 2（端點） |
|---|---|---|---|---|
| f(x) | −8 + 6 + 1 = −1 | −1 + 3 + 1 = 3 | 1 − 3 + 1 = −1 | 8 − 6 + 1 = 3 |
比較得：最大值 3（在 x = −1 與 x = 2 處取得），最小值 −1（在 x = −2 與 x = 1 處取得）。
驗算 由 f′ 符號：x<−1 時 f′>0（增），−1<x<1 時 f′<0（減），1<x 時 f′>0（增），故 x=−1 為極大、x=1 為極小，與表中數值一致；端點 f(−2)=−1、f(2)=3 與內部極值恰好相等，屬命題人特意設置的「端點不可漏」情形。
採分點 求導（1分）；解出全部駐點並判斷在區間內（2分）；列出端點+駐點的函數值表（3分，表本身即給分）；比較得出最大最小（2分）；寫清取值點（1分）。
易錯點 ① 只算 f(−1)、f(1) 就下結論，漏端點（本題兩端點恰是答案的一部分，漏了就丟分）；② 把極值當最值；③ 不寫取值點 x；④ 計算 f(−2) 時把 (−2)³ 算成 +8。
五、本組小結：導數題書寫清單
- □ 見到「過某點的切線」→ 設切點 (a, f(a))，代入該點解 a，解出幾個寫幾條；
- □ 見到含參函數 → 先寫定義域，再按參數使導數變號的臨界值分類，a=0 單獨歸到一類裡不能漏；
- □ 見到閉區間最值 → 列表把駐點 + 兩端點全列出來比，最大值最小值各寫清取值點；
- □ 原始公式先行（f′(x)、切線點斜式），再代數；公式本身有分；
- □ 結果回代驗算：切線代回該點、最值用單調性複核，30 秒能擋住多數計算錯；
- □ 結論句寫全：「故所求切線有兩條……」「綜上，a≤0 時……」。
導數題的分差，常在「少設一個未知量、少分一類、少列一個端點」。把這三處寫成固定動作，比多做十道難題更有用。
