題目性質：自編仿真題——按課程標準與聯招常見考點範圍編寫，非真題原文；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、選定理的兩條判據
正弦定理 a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R：適合已知兩角一邊，或已知兩邊及其中一邊的對角（後者要防兩解）。
餘弦定理 a² = b² + c² − 2bc·cosA：適合已知三邊或兩邊及夾角。
邊角互化：由正弦定理 a=2R sinA 等，把式子裡的「邊」全換成「角的正弦」或反過來，常用來判斷三角形形狀。面積 S = ½ab sinC = ½bc sinA = ½ca sinB。
二、題1 正弦定理求邊，並用「大邊對大角」驗
題目 在 △ABC 中，已知 A = 30°，B = 45°，a = 2。求 b、c 與 C。
審題眼 兩角一邊 → 正弦定理；先由內角和求 C，再一口氣算 b、c。
規範作答
C = 180° − A − B = 180° − 30° − 45° = 105°。
由正弦定理 a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2/sin30° = 2/(1/2) = 4。
b = 4 sin45° = 4 × (√2/2) = 2√2；
sin105° = sin(60°+45°) = sin60°cos45° + cos60°sin45° = (√3/2)(√2/2) + (1/2)(√2/2) = (√6 + √2)/4；
c = 4 sin105° = √6 + √2。
驗根（必寫） 角的大小 A=30° < B=45° < C=105°，對應邊應為 a < b < c：a=2，b=2√2≈2.83，c=√6+√2≈2.45+1.41=3.86，確有 2 < 2.83 < 3.86 ✓ 與「大邊對大角」一致。另三角形兩邊之和大於第三邊：2 + 2.83 > 3.86 ✓。
採分點 求 C（1分）；寫出正弦定理並算出比值 2R=4（2分）；b 值（1分）；sin105° 的和角公式展開（2分）；c 值（1分）；「大邊對大角」驗算（1分，常被漏）。
易錯點 ① 把 2R 當成 a·sinA（應為 a/sinA）；② sin105° 展開符號寫錯或誤用 sin(60°−45°)；③ 忘記先求 C 就想算 c；④ 不驗解，符號錯看不出來。
三、題2 邊角互化判斷三角形形狀
題目 在 △ABC 中，若 a cosA = b cosB，試判斷 △ABC 的形狀。
審題眼 「邊 × 角的餘弦」混合式 → 用正弦定理把邊換成角的正弦，別急著用餘弦定理展開（那樣會繞進邊長代數）。
規範作答（邊化角）
由正弦定理 a = 2R sinA、b = 2R sinB，代入得
2R sinA cosA = 2R sinB cosB → sin2A = sin2B。
因 A、B ∈ (0, π)，故 2A、2B ∈ (0, 2π)。由 sin2A = sin2B 得兩類情形：
① 2A = 2B → A = B，即 a = b，△ABC 為等腰三角形；
② 2A + 2B = π（正弦相等的兩角互補）→ A + B = π/2，故 C = π/2，△ABC 為直角三角形。
綜上，△ABC 為等腰三角形或直角三角形（兩者可同時成立，即等腰直角三角形，也包含在內）。
驗算 等腰情形取 A=B=50°：a cosA 與 b cosB 因 a=b、cosA=cosB 相等 ✓；直角情形取 C=90°、A=30°、B=60°：a=2R·½=R，b=2R·(√3/2)=√3R，a cosA = R·(√3/2)=√3R/2，b cosB = √3R·(1/2)=√3R/2 ✓ 相等。
採分點 寫出邊化角的替換（2分）；化為 sin2A = sin2B（2分）；分兩類討論（各2分，本題最大區分點）；結論寫「等腰或直角」（1分）；驗算或說明兩者可兼有（1分）。
易錯點 ① 由 sin2A=sin2B 直接約掉得 A=B，漏掉互補的直角情形（最高發）；② 邊角互化時忘了共同的 2R 可直接約去；③ 結論只寫一種；④ 忽略 2A、2B 的範圍，多解亂判。
四、題3 兩解情形與面積
題目 在 △ABC 中，a = 2√3，b = 2，A = 60°。求 B、C 及 △ABC 的面積。
審題眼 兩邊及其中一邊的對角（SSA） → 正弦定理求 sinB 後，必須討論 B 是銳角還是鈍角，並用「a > b ⇔ A > B」篩掉不合法的解。
規範作答
由正弦定理 a/sinA = b/sinB 得 sinB = b sinA / a = 2 × (√3/2) / (2√3) = √3/(2√3) = 1/2。
故 B = 30° 或 B = 150°。
篩解：因 a = 2√3 ≈ 3.46 > b = 2，由大邊對大角必有 A > B；而 A = 60°，B = 150° 時 A > B 不成立（且 60°+150° > 180°），故捨去 B = 150°。取 B = 30°。
C = 180° − 60° − 30° = 90°。
面積 S = ½ a b sinC = ½ × 2√3 × 2 × sin90° = 2√3。
驗算 C=90° 為直角三角形，斜邊應為 c；由勾股 c² = a² + b² = 12 + 4 = 16 → c = 4；再由正弦定理 c/sinC = 4/1 = 4，而 a/sinA = 2√3/(√3/2) = 4 ✓ 一致。另 S = ½ × 兩直角邊 = ½ × 2√3 × 2 = 2√3 ✓。
採分點 寫出正弦定理並求 sinB=1/2（2分）；列出 B 的兩個候選（1分）；用大邊對大角/內角和篩去 150°（2分，本題題眼）；求 C（1分）；面積公式與結果（2分）；驗算（1分）。
易錯點 ① SSA 題只取銳角解、不寫篩解過程（答案碰巧對但過程分丟）；② 忘記「a>b ⇔ A>B」這條篩解判據；③ 面積誤用 ½ab·sinA（夾角應為 C，不是 A）；④ 把 150° 也保留，算出負的 C。
五、解三角形書寫清單
- □ 先判條件類型：兩角一邊／SSA → 正弦定理；三邊／兩邊夾角 → 餘弦定理；
- □ 已知兩角先求第三角；和角公式（如 sin105°）展開要寫全；
- □ 邊角混合式優先用正弦定理邊化角，約去公共 2R；
- □ 遇到 sin2A = sin2B 之類，必須分「相等」與「互補」兩類，別直接約；
- □ SSA 題必寫篩解：用大邊對大角或內角和排除不合法解；
- □ 面積公式看準夾角：S = ½ab sinC，兩邊必須是夾角 C 的鄰邊；
- □ 收尾驗算：大邊對大角順序、兩邊和大於第三邊、或與勾股/正弦比值互驗；
- □ 結果帶單位與角度符號，結論句寫全。
解三角形的分差，多在「漏一個解」和「多留一個不該留的解」。把篩解當成固定步驟寫出來，比算得更快更值分。
