題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
導數的三層要分開：定義是瞬時變化率 f′(x₀)=limΔx→0[f(x₀+Δx)−f(x₀)]/Δx；運算是公式與法則；幾何意義是切線斜率。後面所有單調性、極值、最值題，都建立在這三層不出錯的前提上。
六道小題按「定義 → 四則 → 複合 → 切線」遞進，全部為自編題。做題時養成一個習慣：求出導函數後隨手回代一個點驗算，比整題做完再檢查便宜得多。
二、題目呈現
題1 用定義求導（自編）
用導數定義求 f(x) = x² − 3x 在 x = 2 處的導數 f′(2)。
題2 四則運算（自編）
設 f(x) = (x² + 1)·ex，求 f′(x)。
題3 商法則（自編）
設 g(x) = (2x − 1)/(x + 1)（x ≠ −1），求 g′(x)，並求 g′(0)。
題4 複合求導（自編）
設 h(x) = ln(2x² + 1)，求 h′(x)；再設 u(x) = sin(3x − π/6)，求 u′(x)。
題5 複合與乘積疊加（自編）
設 p(x) = x·√(1 + x²)，求 p′(x)。
題6 切線方程（自編）
已知曲線 y = x³ − 3x + 1。求：(a) 在點 (2, 3) 處的切線方程；(b) 過點 (2, 3) 作曲線切線，求所有切線方程。
三、分步解析
題1 按定義：f(2+Δx) = (2+Δx)² − 3(2+Δx) = 4 + 4Δx + Δx² − 6 − 3Δx = −2 + Δx + Δx²；f(2) = 4 − 6 = −2。故 [f(2+Δx) − f(2)]/Δx = (Δx + Δx²)/Δx = 1 + Δx → Δx→0 時極限為 1，即 f′(2) = 1。驗算：f′(x) = 2x − 3，f′(2) = 1 ✓。
題2 乘積法則 (uv)′ = u′v + uv′：u = x²+1，u′ = 2x；v = ex，v′ = ex。故 f′(x) = 2x·ex + (x²+1)·ex = (x² + 2x + 1)ex = (x+1)²ex。回代驗算：x=0 時 f(0)=1，f′(0)=1；用定義近似 [f(0.001)−f(0)]/0.001 ≈ (1.000001·1.0010005 − 1)/0.001 ≈ 1.0015 → 1，一致 ✓。
題3 商法則 (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²：u = 2x−1，u′ = 2；v = x+1，v′ = 1。分子 = 2(x+1) − (2x−1)·1 = 2x + 2 − 2x + 1 = 3。故 g′(x) = 3/(x+1)²，g′(0) = 3。驗算：把 g(x) 改寫為 2 − 3/(x+1)，求導得 3/(x+1)² ✓（改寫後更快，可作為考場上省時的第二法）。
題4 複合函數鏈式法則：h(x) = ln w，w = 2x²+1，w′ = 4x，故 h′(x) = w′/w = 4x/(2x²+1)。u(x) = sin z，z = 3x − π/6，z′ = 3，故 u′(x) = cos z · z′ = 3cos(3x − π/6)。驗算：x=0 時 h′(0)=0，而 h(x) 是偶函數，導函數在 0 處應為 0 ✓；u′(0) = 3cos(−π/6) = 3·(√3/2) = 3√3/2，與 sin(3x) 在 0 附近斜率 3 經相位平移後的值一致 ✓。
題5 p(x) = x·(1+x²)1/2。乘積＋複合：p′(x) = 1·(1+x²)1/2 + x·[½(1+x²)−1/2·2x] = √(1+x²) + x²/√(1+x²) = (1 + 2x²)/√(1+x²)。驗算：x=1 時 p(1)=√2，p′(1)=3/√2 ≈ 2.121；用差分 [p(1.001)−p(1)]/0.001 ≈ 2.122 ✓。
題6 (a) 先核點是否在曲線上：2³ − 3·2 + 1 = 8 − 6 + 1 = 3 ✓，故 (2,3) 是切點。f′(x) = 3x² − 3，f′(2) = 9。切線：y − 3 = 9(x − 2) → y = 9x − 15。驗：x=2 時 y=3 ✓。
題6 (b) 「過點」不等於「在點」，切點未必是 (2,3)。設切點為 (a, a³ − 3a + 1)，斜率 k = 3a² − 3。切線過 (2,3) 的條件：3 − (a³ − 3a + 1) = (3a² − 3)(2 − a) → 2 + 3a − a³ = 6a² − 6 − 3a³ + 3a → 整理得 2a³ − 6a² + 8 = 0 → a³ − 3a² + 4 = 0 → 因式分解 (a + 1)(a − 2)² = 0，得 a = −1 或 a = 2。a=2 即 (a) 的 y = 9x − 15；a=−1 時切點 (−1, 3)，斜率 k = 3·1 − 3 = 0，切線為 y = 3。故共有兩條：y = 9x − 15 與 y = 3。回代：y=3 在 x=−1 處與曲線相切（f(−1)=−1+3+1=3，f′(−1)=0）且過 (2,3) ✓。
四、採分點對照
| 題號 | 答案 | 採分點 |
|---|---|---|
| 題1 | 1 | 寫出差商 2 分；化簡含 Δx 項 1 分；取極限 1 分；公式法回代驗 1 分 |
| 題2 | (x+1)²e^x | 乘積法則公式 1 分；兩項導數各 1 分；合併化簡 1 分 |
| 題3 | 3/(x+1)²，g′(0)=3 | 商法則 2 分；分子化簡 1 分；代值 1 分；改寫驗算 1 分 |
| 題4 | 4x/(2x²+1)；3cos(3x−π/6) | 鏈式法則各 2 分；內層導數各 1 分 |
| 題5 | (1+2x²)/√(1+x²) | 乘積法則 1 分；根式複合導數 2 分；通分合並 1 分 |
| 題6(a) | y=9x−15 | 核點在曲線上 1 分；f′(2)=9 1 分；點斜式與化簡 1 分 |
| 題6(b) | y=9x−15 與 y=3 | 設切點 a 2 分；列出過 (2,3) 條件 2 分；解出 a=−1,2 2 分；兩條切線各 1 分 |
五、高頻易錯點
- 複合求導漏乘內層導數：把 [ln(2x²+1)]′ 寫成 1/(2x²+1)，少乘 4x。
- 商法則分子寫成 u′v + uv′（加號）或把 v² 寫成 v，符號與分母兩頭錯。
- 把「在點 (2,3) 的切線」與「過點 (2,3) 的切線」當成同一問，漏掉 a=−1 那條水平切線。
- 「過點」題不設切點參數 a，直接拿 f′(2) 當斜率，一條切線交卷。
- (a−2)² 的重根被當成增根丟掉，導致只剩 y=3 一條。
- 求出導函數不回代驗算，切線方程常數項算錯也看不出來。
六、小結與自查清單
| 求導類型 | 公式 | 最易漏的一步 |
|---|---|---|
| 乘積 | (uv)′=u′v+uv′ | 兩項都不能少 |
| 商 | (u/v)′=(u′v−uv′)/v² | 分子是減號、分母要平方 |
| 複合 | [f(g(x))]′=f′(g)·g′(x) | 內層導數 g′(x) |
| 對數複合 | (ln w)′=w′/w | w′ 必須算出 |
| 切線（在點） | y−f(x₀)=f′(x₀)(x−x₀) | 先核點是否在曲線上 |
| 切線（過點） | 設切點 a，令切線過給定點 | 「過」≠「在」，可能多解 |
- □ 求導前先判結構：乘積、商、複合，還是疊加，逐層拆。
- □ 複合函數一律寫出「外層導數 × 內層導數」兩步，不跳步。
- □ 商法則寫完立刻檢查分子符號與分母平方。
- □ 切線題先問一句：給的是切點還是「過一點」。
- □ 結果回代一個點或用一個點作差商近似，30 秒擋住大部分計算錯。
- □ 含參或過點問題解出多個根時，逐個回代確認是否都成立。
導數的分數，一半是「算對導函數」，一半是「看清題問的是哪一種」。六道題裡最貴的坑是題6(b)：一個「過」字讓切點從已知變成未知，答案從一條變兩條。把設切點參數 a 變成條件反射，這類題就穩了。本組題目、函數式與數值均為原創自編仿真內容。
