題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
無解析式時，工具只有三件：①對函數方程兩邊求導（f(−x)=−f(x) 求導得 f′(−x)=f′(x)，即奇函數的導數是偶函數）；②構造輔助函數（見 f′−f>0 就造 g=e^{−x}f，因 g′=e^{−x}(f′−f)）；③把抽象不等式用奇偶性與單調性「脫殼」（f(a)+f(b)>0 → f(a)>−f(b)=f(−b) → a>−b）。
兩條紀律：推單調性必須說明在整個區間上 f′ 的符號，不能只憑 x>0 的片段外推；所有結論都要能拿一個具體函數回代驗證（本組用 f(x)=x³/8 與 f(x)=e^{2x}−e^{x} 作驗算樣例，它們滿足題設但不參與推理）。下面三題的條件與數值均為自編。
二、題目呈現
題1（解答題）
設 f(x) 在 R 上可導，f(−x)=−f(x)（奇函數），且當 x>0 時 f′(x)>0，f(2)=1。
(1) 證明 f′(−x)=f′(x)，並由此說明 f 在 R 上單調遞增；
(2) 解不等式 f(x−1)+f(x−3)>0。
題2（解答題）
設 f(x) 在 [0,+∞) 上可導，f(0)=0，且對 x>0 有 f′(x)>f(x)。
(1) 令 g(x)=e^{−x}f(x)，求 g′(x) 並判斷 g 在 (0,+∞) 上的單調性；
(2) 證明當 x>0 時 f(x)>0。
題3（判斷＋說明）
在題1 條件下，判斷下列說法是否正確並各給一句理由：
① f(0)=0；② f(−2)=−1；③ f(x) 在 (−∞,0) 上遞減；④ 不等式 f(x−1)+f(x−3)>0 的解集是 x>2。
三、分步解析
題1 (1) 對 f(−x)=−f(x) 兩邊關於 x 求導：左邊 −f′(−x)，右邊 −f′(x)，故 f′(−x)=f′(x)，即 f′ 為偶函數。於是當 x<0 時 −x>0，f′(x)=f′(−x)>0；x>0 時題設 f′>0；x=0 處由連續性與兩側導數非負，f 在 R 上單調遞增（嚴格性說明：若某區間上 f′≡0 會與 f(2)=1、f(0)=0 矛盾，故整體嚴格遞增）。回代樣例：f(x)=x³/8 是奇函數、f′(x)=3x²/8>0（x>0）、f(2)=1，且 f′ 為偶函數 ✓。
題1 (2) 由奇函數 f(−t)=−f(t)，得 f(x−3)=−f(3−x)。原不等式化為 f(x−1)>−f(x−3)=f(3−x)。由 (1) f 嚴格遞增，故 x−1>3−x ⟹ 2x>4 ⟹ x>2。回代驗算：取 f(x)=x³/8，則 f(x−1)+f(x−3)=[(x−1)³+(x−3)³]/8；x=2 時 =(1−1)/8=0（邊界不取），x=3 時 =(8+0)/8=1>0，x=1 時 =(0−8)/8=−1<0，與 x>2 完全一致 ✓。
題2 (1) g(x)=e^{−x}f(x)，g′(x)=−e^{−x}f(x)+e^{−x}f′(x)=e^{−x}[f′(x)−f(x)]。因 x>0 時 f′(x)−f(x)>0 且 e^{−x}>0，故 g′(x)>0，g 在 (0,+∞) 上單調遞增；又 g 在 [0,+∞) 連續，g(0)=e⁰·f(0)=0。
題2 (2) 由 g 遞增且 g(0)=0，得當 x>0 時 g(x)>g(0)=0，即 e^{−x}f(x)>0。因 e^{−x}>0，故 f(x)>0。回代驗算：取 f(x)=e^{2x}−e^{x}，f(0)=0，f′(x)=2e^{2x}−e^{x}，f′(x)−f(x)=e^{2x}>0 滿足題設；g(x)=e^{−x}(e^{2x}−e^{x})=e^{x}−1，x>0 時 >0 ✓，且 f(x)=e^{x}(e^{x}−1)>0 ✓。
題3 ① 正確：奇函數在 0 處有定義則 f(0)=−f(0) ⟹ f(0)=0。② 正確：f(−2)=−f(2)=−1。③ 錯誤：由 f′ 為偶函數，x<0 時 f′(x)=f′(−x)>0，故 f 在 (−∞,0) 上遞增而非遞減。④ 正確：即題1 (2) 的結論，解集 x>2（x=2 時兩邊相等為 0，取嚴格大於故不含端點）。一致性核對：f 在 R 上嚴格遞增且 f(0)=0、f(2)=1、f(−2)=−1，零點唯一為 x=0，四條判斷互不矛盾 ✓。
四、採分點對照
| 題號 | 答案 | 採分點構成 |
|---|---|---|
| 題1 (1) | f′ 偶；f 在 R 遞增 | 對函數方程求導 1 分；得出 f′(−x)=f′(x) 1 分；補出 x<0 段符號 1 分；整體遞增結論 1 分；具體函數回代 1 分 |
| 題1 (2) | x>2 | 用奇函數化 −f(x−3)=f(3−x) 1 分；脫去 f 得 x−1>3−x 1 分；解集與端點 1 分；x³/8 三點回代 1 分 |
| 題2 (1) | g′=e^{−x}(f′−f)>0，g 遞增 | 乘積求導 1 分；提出 e^{−x} 1 分；由條件判正 1 分；g(0)=0 1 分 |
| 題2 (2) | f(x)>0 | 由 g(x)>g(0) 1 分；e^{−x}>0 保號 1 分；e^{2x}−e^{x} 回代 1 分 |
| 題3 | ①對 ②對 ③錯 ④對 | 四條各 1 分；③須說明 f′ 偶導致左半遞增；④須說明端點不取 |
五、高頻易錯點
- 對 f(−x)=−f(x) 求導時漏掉鏈式法則的負號，得出 f′ 為奇函數的錯誤結論。
- 只由 x>0 的 f′>0 就宣佈全 R 遞增，不補 x<0 的推導。
- 把 f(a)+f(b)>0 直接「約掉 f」，不用奇函數轉成 f(−b)。
- 構造 g=e^{−x}f 後忘記 g(0)=0，或忽略 e^{−x}>0 才可保號。
- 具體函數回代時挑了不滿足題設的函數（如 f(x)=x² 不是奇函數），驗算無效。
六、小結與自查清單
| 條件 | 可用工具 | 得到的結論 | 驗算樣例 |
|---|---|---|---|
| f 奇且可導 | 對函數方程求導 → f′ 偶 | x<0 段 f′>0，全 R 遞增 | f(x)=x³/8 |
| f′(x)>f(x) | 造 g=e^{−x}f | g′>0 → f(x)>0 | f(x)=e^{2x}−e^{x} |
| f(a)+f(b)>0 | 奇函數 + 單調性脫殼 | a>−b | x³/8 三點代入 |
- □ 見到 f(−x)=±f(x) 先求導，寫出 f′ 的奇偶性。
- □ 見到 f′−f>0 想到 e^{−x}f，見到 f′+f>0 想到 e^{x}f。
- □ 脫殼前先確認 f 在所需區間上嚴格單調，並說明依據。
- □ 抽象不等式解完，代一個滿足題設的具體函數驗三點。
- □ 端點是否取到，由「嚴格大於/大於等於」與等號成立條件定。
無解析式的題看著玄，其實全靠兩把固定的鑰匙：對函數方程求導拿對稱性，構造 e^{±x}f 把條件變成導數符號，剩下就是「遞增函數可以脫殼」。每步都拿一個滿足題設的具體函數回代，推理有沒有跳步立刻看得出來。本組條件、函數樣例與數值均為原創自編仿真內容，全部經回代互驗。
