聯招物理·實驗題：驗證玻意耳定律與 p–1/V 圖象

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

等溫條件下一定質量氣體滿足 pV = C（常數），改寫成 p = C · (1/V)：以 p 為縱軸、1/V 為橫軸，應得一條過原點的直線，斜率就是 C。只逐組算 pV 當然也能驗，但看不出系統偏差——若存在未計入的死體積 V₀，pV 各組會悄悄變化，而 p–1/V 圖會明顯出現不為零的截距或彎曲。

三個前提必須能說出來：①氣體質量不變（不漏氣）；②溫度不變（緩慢壓縮、每次等溫後再讀數）；③體積要算全（注射器刻度 + 軟管/接頭死體積）。下面四組數據為自編示意，pV 刻意取成整齊常數以便回代。

二、題目呈現

自編數據（示意）

用自編注射器裝置緩慢壓縮一段封閉氣體，溫度保持不變。四組讀數（V 為計入全部連通體積後的讀數）：

V = 20.0 mL → p = 1.00×10⁵ Pa

V = 16.0 mL → p = 1.25×10⁵ Pa

V = 12.5 mL → p = 1.60×10⁵ Pa

V = 10.0 mL → p = 2.00×10⁵ Pa

題1（計算）

(1) 分別計算四組 pV（統一用 10⁵ Pa·mL 作單位）；

(2) 分別計算 1/V（單位 mL⁻¹，保留四位小數）；

(3) 說明 pV 恆定說明什麼，以及為什麼還要畫圖。

題2（計算＋回代）

(1) 求 p–1/V 圖象的斜率 C（含單位），寫出直線方程；

(2) 驗證四組點是否都在該直線上、且過原點；

(3) 若把第五組 V=8.00 mL 代入直線方程，預測 p，並回代檢驗 pV=C。

題3（誤差判斷）

分別判斷下列情形讓 p–1/V 圖象或 pV 發生什麼變化，並寫一句理由：

(1) 壓縮過快、氣體來不及與外界換熱，溫度偏高就讀數；

(2) 裝置輕微漏氣，壓縮過程中有氣體逸出；

(3) 計算時漏掉自編死體積 V₀=2.0 mL，仍把注射器刻度當 V。

三、分步解析

題1 (1)　四組 pV（單位 10⁵ Pa·mL）：20.0×1.00 = 20.0；16.0×1.25 = 20.0；12.5×1.60 = 20.0；10.0×2.00 = 20.0。四組完全一致，說明在自編數據範圍內 p 與 V 成反比、符合等溫條件。回代：任取一組反算 p = 20.0/V，如 V=12.5 → 1.60 ✓。

題1 (2)　1/V：1/20.0 = 0.0500；1/16.0 = 0.0625；1/12.5 = 0.0800；1/10.0 = 0.1000（mL⁻¹）。回代：V×1/V 分別為 1.0000、1.0000、1.0000、1.0000 ✓。

題1 (3)　pV 恆定說明這四組數據滿足玻意耳定律、且溫度與氣體質量在測量中基本不變。仍要畫圖的原因：pV 逐組相等只檢驗了「點」，看不出系統性偏差——比如死體積漏算會讓各組 pV 出現隨 V 單調漂移的趨勢，漏氣讓斜率整體變，個別讀數錯誤也會在直線上孤立地冒出來；p–1/V 直線是否過原點、是否直，是把「常數」升級為「可診斷的模型」。

題2 (1)　由 p = C·(1/V)，取任一組：C = p/(1/V) = 1.00/0.0500 = 20.0，單位 10⁵ Pa·mL（等價於 pV 的常數）。直線方程為 p = 20.0 × (1/V)（p 單位 10⁵ Pa，1/V 單位 mL⁻¹）。回代：四組 p/(1/V) 分別 1.00/0.0500=20.0、1.25/0.0625=20.0、1.60/0.0800=20.0、2.00/0.1000=20.0，全部一致 ✓。

題2 (2)　把四個 1/V 代入方程：0.0500→1.00、0.0625→1.25、0.0800→1.60、0.1000→2.00，與表中 p 逐項相同 ✓；且 1/V=0 時 p=0，直線過原點 ✓。截距為零正是「沒有漏算死體積、沒有系統偏差」的圖象證據。

題2 (3)　V=8.00 mL → 1/V = 0.1250 mL⁻¹，p = 20.0×0.1250 = 2.50×10⁵ Pa。回代：pV = 2.50×8.00 = 20.0（10⁵ Pa·mL）= C ✓；反向 20.0/V = 20.0/8.00 = 2.50 ✓。

題3 (1)　pV 偏大、點落在直線上方。壓縮過快時氣體溫度升高（來不及放熱），按 pV=nRT，T 偏大使同體積下 p 偏大，故 pV 與 p–1/V 的斜率都比等溫值大；高壓端（壓縮最厲害處）偏離通常更明顯。改進：每次壓縮後等溫度回到室溫再讀數。

題3 (2)　pV 變小、斜率變小，且可能隨過程漂移。漏氣使 n 減小，pV=nRT 中 n 變小，同體積下 p 偏低；若漏氣是漸進的，各點不會落在同一條過原點直線上，而是越往後越偏低。

題3 (3)　直線彎曲並出現非零截距。真實體積應是 V真 = V刻 + V₀，若仍用 V刻 作橫座標 1/V刻，則 p = C/(V刻+2.0)，相對 p = C·(1/V刻) 的系統偏小，且 V刻 越小（1/V刻 越大）時 2.0 mL 佔比越大、偏差越明顯，點會向下彎、不再過原點。數值回代：取 V刻=10.0 mL，V真=12.0 mL，真 p = 20.0/12.0 = 1.667×10⁵ Pa，而按表中模型算得 2.00×10⁵ Pa，偏差 −16.7% ✓；V刻=20.0 時真 p=20.0/22.0=0.909×10⁵ Pa，偏差 −9.1% ✓，兩端偏差不同正是「彎曲而非整體平移」的證據。

四、採分點對照

五、高頻易錯點

• 只算 pV 相等就宣佈驗證成功，不畫 p–1/V 圖，看不出死體積與漏氣。
• 把斜率寫成 1/20.0：斜率是 p÷(1/V) = pV，不是 V/p。
• 忘記 1/V 的單位，斜率單位寫成 Pa 而不是 Pa·mL。
• 壓縮後立即讀數，溫度偏高還當成等溫數據。
• 漏算軟管死體積，還把「整體偏小」當成「截距平移」，實際是彎曲。

六、小結與自查清單

• □ 先統一單位（本組用 10⁵ Pa·mL），再算 pV 與 1/V。
• □ 斜率取 p÷(1/V)，量綱與 pV 相同。
• □ 檢查直線是否過原點：截距不為零先懷疑死體積。
• □ 誤差題用 pV=nRT 分「T 變 / n 變 / V 漏算」三類歸因。
• □ 死體積偏差算兩端各一次，確認是彎曲而不是整體平移。

驗證定律的價值一半在把曲線畫成直線：p–1/V 過不過原點、直不直，比四組 pV 都等於 20.0 信息量大得多——溫度、漏氣、死體積各自會把點往不同方向拽。算完斜率還要外推一組再回代，模型才算真的立住。本組四組讀數、死體積與預測值均為原創自編示意數據，做過雙向回代互驗。