聯招物理·實驗題：探究彈性勢能與形變量的關係

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

思路一句話：讓彈簧把小車彈出去，在水平軌道上測小車勻速段的速度 v，忽略摩擦與彈簧自身動能時 Ep = ½mv²。若理論 Ep = ½kx² 成立，則應有 ½mv² ∝ x²，也就是 v ∝ x，且 Ep/x² 為常數 ½k。所以這題的數據處理其實是「算 Ep、除以 x²、看是不是常數、再由 ½k 反求 k」。

三條前提要能說出來：①軌道水平且摩擦可忽略；②彈簧釋放後與小車分離，彈性勢能全部轉為小車平動動能；③x 從彈簧自然長度量起。下面質量、壓縮量與速度均為自編示意，全部做過雙向回代互驗。

二、題目呈現

自編數據（示意）

小車質量 m = 0.200 kg（自編），水平軌道，彈簧每次壓縮 x 後由靜止釋放，測速器記錄小車勻速段速度 v：

x = 2.00 cm → v = 0.400 m/s

x = 4.00 cm → v = 0.800 m/s

x = 6.00 cm → v = 1.20 m/s

題1（計算）

(1) 把 x 換成 m，分別求三組 Ep = ½mv²；

(2) 分別求 Ep/x²，判斷是否近似為常數，並說明這支持什麼結論；

(3) 檢驗 v/x 是否為常數，作為另一條獨立驗證。

題2（計算＋回代）

(1) 由 Ep = ½kx² 求勁度係數 k；

(2) 用 k 反算三組 Ep，與題1 結果核對；

(3) 外推 x = 8.00 cm 時的 Ep 與 v，並雙向回代。

題3（誤差判斷）

分別判斷下列情形使求得的 k 偏大、偏小還是不變，並各寫一句理由：

(1) 軌道存在摩擦，小車勻速段速度略低於理想值；

(2) 壓縮量 x 從「彈簧已被預壓 0.50 cm 的位置」量起，讀數偏大；

(3) 測速器實際測的是小車剛脫離彈簧瞬間的速度，此時彈簧仍有少許振動動能未完全轉化。

三、分步解析

題1 (1)　x 換成 m：0.0200、0.0400、0.0600 m。Ep = ½×0.200×v² = 0.100 v²： 第一組 v=0.400 → Ep = 0.100×0.1600 = 0.0160 J； 第二組 v=0.800 → Ep = 0.100×0.6400 = 0.0640 J； 第三組 v=1.20 → Ep = 0.100×1.440 = 0.144 J。回代：由 Ep 反解 v=√(2Ep/m)=√(2×0.0160/0.200)=√0.160=0.400 ✓，三組同理。

題1 (2)　x²：4.00×10⁻⁴、1.60×10⁻³、3.60×10⁻³ m²。Ep/x² 分別為 0.0160/4.00×10⁻⁴ = 40.0；0.0640/1.60×10⁻³ = 40.0；0.144/3.60×10⁻³ = 40.0（單位 J/m² = N/m）。三組完全相同，說明 Ep ∝ x²，與 Ep = ½kx² 一致，且 ½k = 40.0 N/m。回代：40.0×x² 逐組還原 Ep ✓。

題1 (3)　v/x：0.400/0.0200 = 20.0；0.800/0.0400 = 20.0；1.20/0.0600 = 20.0（s⁻¹）。v ∝ x 與 Ep ∝ x² 是同一關係的兩種寫法（Ep=½mv²，v²∝x² ⟺ v∝x），兩條路徑獨立得出同一常數，互為驗證 ✓。

題2 (1)　由 Ep = ½kx² 得 ½k = Ep/x² = 40.0 N/m，故 k = 80.0 N/m。回代：½×80.0×(0.0200)² = 40.0×4.00×10⁻⁴ = 0.0160 J ✓。

題2 (2)　用 k=80.0 反算：x=0.0200 → 0.0160 J；x=0.0400 → ½×80×1.60×10⁻³ = 0.0640 J；x=0.0600 → ½×80×3.60×10⁻³ = 0.144 J。三組與題1 (1) 逐項一致 ✓。再由 Ep 反算 v：√(2×0.0160/0.200)=0.400、√(2×0.0640/0.200)=0.800、√(2×0.144/0.200)=1.20，也與原表一致 ✓。

題2 (3)　x = 8.00 cm = 0.0800 m：Ep = ½×80.0×(0.0800)² = 40.0×6.40×10⁻³ = 0.256 J；v = √(2Ep/m)=√(2×0.256/0.200)=√2.56 = 1.60 m/s。雙向回代：由 v 反算 Ep = 0.100×1.60² = 0.256 J ✓；由 v/x = 1.60/0.0800 = 20.0，與題1 (3) 的常數一致 ✓；Ep/x² = 0.256/6.40×10⁻³ = 40.0 = ½k ✓。

題3 (1)　k 偏小。摩擦使實測 v 偏小，由 Ep=½mv² 算出的 Ep 偏小，而 x 測量無誤，故 k = 2Ep/x² 偏小。物理上：一部分彈性勢能變成了摩擦熱，沒進小車動能。

題3 (2)　k 偏小。若從「已預壓 0.50 cm 處」當作零點，讀出的 x 比真實形變量偏大（例如真實 1.50 cm 記成 2.00 cm），Ep 由 v 決定不變，而分母 x² 偏大，故 k 偏小。數值回代：仍用第一組 Ep=0.0160 J，若 x 誤記 0.0200 而真實 0.0150，則 k_calc = 2×0.0160/0.0200² = 80.0，k_true = 2×0.0160/0.0150² ≈ 142.2 N/m，誤算值明顯偏小 ✓。

題3 (3)　k 偏小。剛脫離瞬間彈簧自身還帶振動動能，彈性勢能沒有全部轉成小車平動動能，故此時測得的 v 小於穩態勻速段速度，Ep 偏小、k 偏小。說明：這與 (1) 都表現為「能量沒全給小車」，但成因不同——(1) 是被摩擦耗散，(3) 是仍留在彈簧裡；改進都是測脫離後勻速段的速度並等彈簧靜止。

四、採分點對照

五、高頻易錯點

• 把 cm 直接平方當 m² 用，Ep/x² 差 10⁴ 倍。
• 用 Ep=½mv² 時漏掉 ½，或把 k 寫成 Ep/x²（應是 2Ep/x²）。
• 只算 Ep 不除以 x²，就看不出是不是二次關係。
• 測剛脫離瞬間的速度：彈簧自身動能還在，能量沒全部轉化。
• 壓縮量不從自然長度量起，x 帶系統偏差，k 整體偏小還看不出來。

六、小結與自查清單

• □ 先把 x 換成 m 再平方，Ep 用 ½mv² 不帶錯係數。
• □ 算完 Ep 必除以 x²，看是不是常數。
• □ 同時算 v/x，作為獨立驗證路徑。
• □ 由 ½k=Ep/x² 求 k，再反算三組 Ep 與 v。
• □ 誤差題先判斷「能量有沒有全給小車」「x 有沒有系統偏差」。

彈性勢能不能直接讀，就換成能讀的量：½mv² 是橋，Ep/x² 是判據，½k 是結果，v/x 是第二條獨立驗證。四條互相回代都對得上，整個實驗才算做完；而摩擦、零點、脫離瞬間這三類誤差，本質都是「能量沒全進小車」或「x 被記錯」。本組質量、壓縮量、速度與 k 值均為原創自編示意數據，做過雙向回代互驗。