題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
識別信號很硬：題目不給 f(x) 的解析式，卻給了 f 與 f′ 之間的不等式。這時不要試圖求 f，而要造一個函數 g，使 g′ 恰好是題幹那個式子的正數倍。乘積求導的形狀 (uv)′ = u′v + uv′ 裡，若取 u = e^{kx}，則 u′ = k e^{kx}，於是
g(x) = e^{kx} f(x) ⇒ g′(x) = e^{kx}[ f′(x) + k f(x) ]。
因為 e^{kx} > 0，g′ 的符號只由括號決定。於是「f′ + kf > 0」直接翻譯成「g 單調遞增」。最後用題給的 f(0)（或某個已知點）算出 g 在該點的值，把待解不等式也改寫成 g(x) 與這個值的比較即可。
二、逐題精講
題1
題1 f′ + f > 0 型
已知 f(x) 是定義在 R 上的可導函數，滿足 f(x) + f′(x) > 0 對一切 x ∈ R 成立，且 f(0) = 1。求不等式 ex f(x) > 1 的解集。
解析
第一步 構造。題幹是 f′ + f > 0，對應 k = 1，取 g(x) = ex f(x)。第二步 求導判號。g′(x) = ex f(x) + ex f′(x) = ex[f(x) + f′(x)]。由 ex > 0 且 f(x) + f′(x) > 0，得 g′(x) > 0，故 g 在 R 上嚴格單調遞增。
第三步 定臨界值。g(0) = e⁰ f(0) = 1 × 1 = 1。
第四步 改寫待解不等式。ex f(x) > 1 就是 g(x) > g(0)。由 g 嚴格遞增，g(x) > g(0) ⇔ x > 0。
第五步 驗端點。x = 0 時左邊 = 1，不滿足嚴格大於，故 0 不取。解集為 (0, +∞)。
答案 (0, +∞)
採分點 構造函數 g(x)=e^x f(x) 2 分；正確求導並合併成 e^x(f+f′) 2 分；由條件得 g′>0、判嚴格遞增 2 分；算 g(0)=1 並用單調性轉化 2 分；端點檢驗與解集 1 分。
易錯點 構造 g(x) = e^{−x} f(x)（指數符號取反，g′ 變成 e^{−x}(f′−f)，與條件對不上）；把 g′ 寫成 e^x(f−f′)；忘記用 f(0) 定臨界值，直接寫「x 大於某個數」；把 > 寫成 ≥ 把 0 納入解集。
題2
題2 f′ − f > 0 型與一般化
(1) 若 f(x) 定義在 R 上可導，滿足 f′(x) − f(x) > 0，且 f(0) = 1，求不等式 f(x)e−x > 1 的解集。
(2) 一般化：若 f′(x) + k f(x) > 0（k > 0 為常數），應構造什麼函數？寫出 g′(x) 並說明理由。
解析
(1) 條件是 f′ − f > 0，可寫成 f′ + (−1)f > 0，對應 k = −1，構造 h(x) = f(x)e−x。h′(x) = f′(x)e−x − f(x)e−x = e−x[f′(x) − f(x)] > 0，故 h 在 R 上嚴格遞增。h(0) = f(0)e⁰ = 1。待解不等式即 h(x) > h(0)，故 x > 0，解集 (0, +∞)。
與題1 對照：兩題答案相同但構造不同——題1 乘 ex，題2 乘 e−x。判別只看括號裡 f 的係數：f′ +1·f 配 ex，f′ −1·f 配 e−x。若把題2 錯造成 exf(x)，則 g′ = ex(f′+f)，符號無法由 f′−f>0 判定，整題就走不下去。
(2) 構造 g(x) = ekx f(x)。求導：g′(x) = k ekx f(x) + ekx f′(x) = ekx[f′(x) + k f(x)]。因為 ekx > 0 且 f′ + kf > 0，故 g′(x) > 0，g 嚴格遞增。
推廣到係數不為 1 的情形：若條件寫成 f(x) + 2f′(x) > 0，先兩邊除以 2 化為 f′(x) + ½ f(x) > 0，即 k = ½，應構造 g(x) = ex/2 f(x)，而不是 e2x f(x)。先歸一化 f′ 的係數，再讀 k，這是這類題最容易漏的一步。
答案 (1) (0, +∞)；(2) 構造 g(x)=e^{kx}f(x)，g′(x)=e^{kx}[f′(x)+kf(x)]>0，故 g 嚴格遞增。
採分點 (1) 構造 2 分、求導 2 分、h(0)=1 與單調性轉化 2 分；(2) 一般構造與求導 2 分、歸一化說明 2 分。
易錯點 把 f′−f>0 仍配 e^x；一般化時寫成 e^{x/k}；條件為 f+2f′>0 時不歸一化，直接取 k=2；忽略 e^{kx}>0 這一判號前提。
三、規律小結與對照表
| 題給條件 | 構造函數 | g′(x) | 結論 |
|---|---|---|---|
| f′(x) + f(x) > 0 | g = e^x f(x) | e^x[f′+f] > 0 | g 遞增 |
| f′(x) − f(x) > 0 | h = e^{−x} f(x) | e^{−x}[f′−f] > 0 | h 遞增 |
| f′(x) + k f(x) > 0 | g = e^{kx} f(x) | e^{kx}[f′+kf] > 0 | g 遞增 |
| f(x) + 2f′(x) > 0 | 先化 f′+½f>0，取 g = e^{x/2} f(x) | e^{x/2}[f′+½f] > 0 | g 遞增 |
| f′(x) − f(x) < 0（對照） | h = e^{−x} f(x) | e^{−x}[f′−f] < 0 | h 遞減 |
這一類題的「題眼」不在計算，而在把括號裡的形狀配出來：先把條件整理成 f′ + k f 的標準形，取 g = e^{kx} f，再用 e^{kx} > 0 把不等式整體搬成單調性。最後別忘了用已知點定臨界值、驗端點開閉。本題函數條件與數值均為原創自編仿真題，構造與求導已逐項回代互驗。
四、自測清單
- 先把題給不等式化成 f′(x) + k f(x) 的標準形，f′ 係數先歸一
- 按 k 取 g(x)=e^{kx}f(x)，k 可正可負
- 求導後驗證括號恰好等於題給式子，配不上就換指數符號
- 用 f(0) 或已知點算 g 的臨界值，把待解式改寫成 g(x) 與臨界值比較
- 嚴格不等號驗端點，寫成區間並檢查開閉
