題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
圓內接四邊形給了兩條白送的條件：對角互補（∠B + ∠D = 180°，∠A + ∠C = 180°）與互補角的正弦相等、餘弦相反（sin B = sin D，cos B = −cos D）。所以只要畫出一條對角線，原題就拆成兩個共享這條邊的三角形；第一個三角形算出的邊，正好是第二個三角形的已知量。
解題鏈條固定四步：選公共對角線（一般選已知兩邊夾角的那一側，好直接上餘弦定理）→ 第一三角形求對角線 → 用對角互補把角搬到第二三角形 → 餘弦定理求未知邊、正弦面積公式分塊求和。下面圖形數據為自編示意，全部經代數回代驗證。
二、逐題精講
題1
題1 求公共對角線與對角
自編圖形：四邊形 ABCD 內接於圓，已知 AB = 2，BC = 3，CD = 4，∠ABC = 120°。連接 AC。
(1) 求 AC 的長；(2) 求 ∠ADC 的大小，並說明依據。
解析
(1) 在 △ABC 中，已知兩邊及其夾角，直接用餘弦定理：AC² = AB² + BC² − 2·AB·BC·cos∠ABC = 2² + 3² − 2×2×3×cos120°。
cos120° = −1/2，故 AC² = 4 + 9 − 12×(−1/2) = 13 + 6 = 19，即 AC = √19。
符號檢查：∠ABC 為鈍角，對邊 AC 應大於兩邊平方和的算術均值所對應的值；若無夾角項則 AC² = 13，加上 −2ab cos B 的正貢獻 6 得 19，AC ≈ 4.36，比 AB、BC 都大，符合鈍角對長邊，結果合理。
(2) 因為 ABCD 內接於圓，對角互補：∠ABC + ∠ADC = 180°，故 ∠ADC = 60°。依據寫全才有分：圓內接四邊形對角互補（或同弧所對圓周角與另一對角的關係）。順帶記下 sin∠ADC = sin120° = √3/2、cos∠ADC = −cos120° = 1/2，題2 立刻要用。
答案 (1) AC = √19；(2) ∠ADC = 60°（圓內接四邊形對角互補）。
採分點 寫出餘弦定理公式 2 分；代入 cos120° = −1/2 得 AC² = 19 得 2 分；AC = √19 帶結論 1 分；對角互補寫出依據 1 分；∠ADC = 60° 1 分；正弦/餘弦互補關係 1 分。
易錯點 把 cos120° 寫成 +1/2，得 AC² = 7；漏掉負號導致 12×(−1/2) 算成 −6 再加錯；忘記寫「圓內接四邊形對角互補」的依據，只寫答案；把 ∠ADC 誤判為 120°（那是 ∠ABC）。
題2
題2 求第四邊與總面積（含兩路互驗）
承接題1。(1) 求 AD 的長；(2) 求四邊形 ABCD 的面積 S，並用另一種分割方式驗算。
解析
(1) 在 △ACD 中，已知 AC = √19、CD = 4、∠ADC = 60°，設 AD = x。由余弦定理（角 D 的對邊是 AC）：AC² = AD² + CD² − 2·AD·CD·cos∠ADC → 19 = x² + 16 − 2·x·4·(1/2) = x² + 16 − 4x。
整理得 x² − 4x − 3 = 0，解得 x = (4 ± √28)/2 = 2 ± √7。邊長為正，取 AD = 2 + √7（≈ 4.646）。
回代驗算：AD² = (2+√7)² = 11 + 4√7；AD² + 16 − 4AD = 11 + 4√7 + 16 − 8 − 4√7 = 19 ✓。負根 2 − √7 < 0 捨去，理由要寫。
(2) 分割一（沿 AC）：
S△ABC = ½·AB·BC·sin120° = ½×2×3×(√3/2) = 3√3/2。
S△ACD = ½·AD·CD·sin60° = ½×(2+√7)×4×(√3/2) = √3(2+√7)。
S = 3√3/2 + √3(2+√7) = √3(3/2 + 2 + √7) = √3(7/2 + √7) ≈ 10.64。
分割二（沿 BD，用於互驗）：設 ∠BAD = α，則 ∠BCD = 180° − α（對角互補），故 sin∠BAD = sin∠BCD。於是
S = ½·AB·AD·sinα + ½·BC·CD·sin(180°−α) = ½ sinα·(AB·AD + BC·CD)。
由余弦定理兩路求 BD²：
BD² = AB² + AD² − 2·AB·AD·cosα = 4 + (11+4√7) − 4(2+√7)cosα = 15 + 4√7 − 4(2+√7)cosα；
BD² = BC² + CD² − 2·BC·CD·cos(180°−α) = 9 + 16 + 24cosα = 25 + 24cosα。
兩式相等解得 cosα，再取 sinα 代回上式，所得 S 與 √3(7/2+√7) 一致。這一步在考場上只需列出兩式、說明「由同一條 BD 相等可解出 cosα，故面積唯一確定」即可拿到驗算分，不必展開到底。
答案 (1) AD = 2 + √7；(2) S = √3(7/2 + √7) ≈ 10.64（沿 BD 分割，由對角互補使 sinα = sin∠BCD，兩路求 BD² 解 cosα，結果一致）。
採分點 在 △ACD 中正確列出餘弦定理（角 D 對邊為 AC）2 分；化出 x²−4x−3=0 得 1 分；取正根並說明舍根理由 1 分；回代驗算 1 分；兩塊面積公式各 1 分；合併結果 1 分；寫出第二分割的等量關係 2 分。
易錯點 列餘弦定理時把「角 D 的對邊」錯當成 CD，寫成 16 = x² + 19 − …；忘記捨去負根；面積漏乘 ½；把 sin60° 與 sin120° 視為不同（其實相等）；第二分割裡漏用 cos(180°−α) = −cosα，導致兩式解不出。
三、規律小結與對照表
| 關係 | 表達式 | 本題落點 |
|---|---|---|
| 對角互補 | ∠B + ∠D = 180°，∠A + ∠C = 180° | ∠ABC=120° ⇒ ∠ADC=60° |
| 正餘弦互補 | sin(180°−θ)=sinθ；cos(180°−θ)=−cosθ | sin120°=sin60°=√3/2；cos60°=1/2 |
| 餘弦定理 | c² = a² + b² − 2ab cos C | △ABC 求 AC²=19；△ACD 求 AD |
| 正弦面積 | S = ½ab sin C | 兩塊面積分別用 sin120° 與 sin60° |
| 公共邊 | 對角線既是第一個三角形的第三邊，又是第二個的已知邊 | AC = √19 打通兩三角形 |
| 兩路互驗 | 同一條 BD 由兩個三角形分別表達，令兩式相等 | 解出 cosα，驗證面積唯一 |
圓內接四邊形題的關鍵，是別把它當成一個四邊形硬算，而是沿對角線拆成兩個三角形，再用對角互補把角搬過去。互補角的正弦相等、餘弦相反，這一句能同時省掉一次角度求解和一次符號討論。本題圖形、邊長與角度均為自編示意數據，全部結果已代數回代驗證。
四、自測清單
- 先畫對角線，明確它同時屬於哪兩個三角形
- 寫出「圓內接四邊形對角互補」作為依據，別隻寫角度數值
- 鈍角處核對 cos 符號：cos120° = −1/2，別寫成 +1/2
- 列餘弦定理前先確認「哪個角、對哪條邊」，別把邊角配錯
- 解出邊長後回代原方程，並說明負根為何捨去
- 分割求面積時每一塊都帶 ½，最後用另一條對角線做等量驗算
