聯招數學·遞推數列的單調性、有界性與極限

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

處理遞推式 aₙ₊₁ = f(aₙ)，有四步固定動作：算前幾項看趨勢 → 作差 aₙ₊₁ − aₙ 定單調 → 找不變量定上/下界 → 由單調有界定理設 lim aₙ = L，解 L = f(L) 得不動點。其中第二步與第三步是採分主力，第四步必須寫「單調有界，故極限存在」這句依據，不能一上來就設 L。

另有一條函數視角很有用：若 f 在區間上可導且 |f′(x)| ≤ q < 1，則迭代是壓縮的，收斂速度可估。這把數列題與導數題接了起來。下面遞推式與數值為自編示意，全部經代數與數值回代驗證。

二、逐題精講

題1

題1 作差定單調、代數定下界（含回代）

自編遞推：a₁ = 1，aₙ₊₁ = ½(aₙ + 2/aₙ)（n ≥ 1）。

(1) 計算 a₂、a₃、a₄（保留五位小數）；(2) 證明 n ≥ 2 時 aₙ ≥ √2；(3) 證明 {aₙ} 從第二項起單調遞減。

解析

(2) 下界證明（配方法）：對任意 x > 0，
f(x) − √2 = ½(x + 2/x) − √2 = (x² + 2 − 2√2 x)/(2x) = (x − √2)²/(2x) ≥ 0。
故對一切 n ≥ 1 有 aₙ₊₁ ≥ √2，即 n ≥ 2 時 aₙ ≥ √2。等號僅當 aₙ = √2 時成立；本題 a₁ = 1 ≠ √2，故 n ≥ 2 實為嚴格大於。這一步也順帶說明 aₙ 恆正，後續作差可放心乘除。

(3) 單調遞減：對 n ≥ 2，
aₙ₊₁ − aₙ = ½(aₙ + 2/aₙ) − aₙ = (2 − aₙ²)/(2aₙ)。
由 (2) 知 aₙ ≥ √2 → aₙ² ≥ 2 → 2 − aₙ² ≤ 0，且 aₙ > 0，故 aₙ₊₁ − aₙ ≤ 0，即從第二項起單調不增（嚴格遞減）。
注意不能從第一項起說遞減：a₂ − a₁ = 1.5 − 1 = 0.5 > 0，第一項到第二項是上升的。寫清「n ≥ 2」這個起點是本題的隱藏採分點。

答案　(1) a₂=1.50000，a₃=1.41667，a₄=1.41422；(2) f(x)−√2=(x−√2)²/(2x)≥0，故 n≥2 時 aₙ≥√2；(3) aₙ₊₁−aₙ=(2−aₙ²)/(2aₙ)≤0，從第二項起遞減。

採分點　三項數值各 1 分；配方法寫出 (x−√2)²/(2x) 2 分；下界結論與「n≥2」限定 1 分；作差式 2 分；由 aₙ²≥2 判符號 1 分；指出 a₂>a₁、遞減只從第二項起 1 分。

易錯點　把 (x−√2)²/(2x) 展開時漏掉分母 2x 或符號寫反；直接由 a₂>√2 歸納說「所以都≥√2」卻不給代數證明；聲稱「數列單調遞減」而不排除 a₁→a₂ 的上升；作差後忘記用 aₙ>0 判斷分母符號。

題2

題2 極限、導數壓縮性與誤差遞減（兩路互驗）

承接題1。(1) 說明極限存在並求 lim aₙ；(2) 用 f(x)=½(x+2/x) 的導數說明在 [√2, +∞) 上迭代為何收斂，並給出誤差上界；(3) 計算 a₃ − √2 與 a₄ − √2，驗證誤差大致「平方級」縮小。

解析

(2) 導數視角：f′(x) = ½(1 − 2/x²)。當 x ≥ √2 時 2/x² ≤ 1，故 0 ≤ f′(x) < 1/2（x → +∞ 時趨於 1/2）。
由中值定理：|aₙ₊₁ − √2| = |f(aₙ) − f(√2)| = |f′(ξ)|·|aₙ − √2| ≤ ½|aₙ − √2|，即每迭代一步誤差至少減半，收斂有保證。
更強的一路（平方級）：由題1 的恆等式 f(x) − √2 = (x−√2)²/(2x)，得 |aₙ₊₁ − √2| = (aₙ − √2)²/(2aₙ) ≤ (aₙ − √2)²/(2√2)，誤差是上一步的平方量級，這就是牛頓迭代的二次收斂。兩路都寫，採分最穩。

(3) 數值驗算（√2 ≈ 1.4142136）：
a₃ − √2 = 1.4166667 − 1.4142136 = 2.453×10⁻³；
a₄ − √2 = 1.4142157 − 1.4142136 ≈ 2.1×10⁻⁶。
比值 ≈ 8.6×10⁻⁴，而按平方級估計 (2.453×10⁻³)²/(2×1.4142) ≈ 2.13×10⁻⁶，與實算一致 ✓；「至少減半」的上界 ½×2.453×10⁻³ ≈ 1.23×10⁻³ 也成立（實際遠小於它）✓。兩路互驗通過。

答案　(1) 單調有界故極限存在，L=√2；(2) f′(x)=½(1−2/x²)∈[0,1/2)，誤差每步至少減半，且有平方級估計；(3) a₃−√2≈2.45×10⁻³，a₄−√2≈2.1×10⁻⁶，與平方級估計一致。

採分點　寫出單調有界定理依據 2 分；解方程 L²=2 並舍負根 2 分；f′ 計算 1 分；0≤f′<1/2 的結論 1 分；中值定理誤差估計 2 分；平方級恆等式 2 分；兩項誤差數值各 1 分；兩路互驗結論 1 分。

易錯點　一上來就設 L 而不寫「單調有界、極限存在」；解 L²=2 後不說明舍負根；把 f′ 寫成 ½(1+2/x²) 導致「導數大於 1 不收斂」的反向結論；把誤差關係寫成線性卻給不出係數；數值驗算用 lg 與 ln 混算。

三、規律小結與對照表

遞推數列題最容易被扣的分，不是算錯，而是跳過「單調有界」直接設極限，以及忘記說明遞減從哪一項開始。把作差式與配方式各寫一行，再用 f′ 或恆等式給個誤差估計，整道題就既有邏輯又有驗算。本題遞推式與數值均為自編示意，全部經代數與數值回代驗證。

四、自測清單

• 先算前三項看趨勢，別急著證
• 下界用配方法寫出 (x−L)²/(…) ≥ 0 的形式，不靠歸納直覺
• 作差後明確寫清單調區間從第幾項起
• 設 lim 之前必須寫「單調有界，故極限存在」
• 解不動點方程後按正項條件舍根
• 用 f′ 或誤差恆等式給一個收斂速度估計，並代一項數值回驗