聯招物理·電容器充放電：I–t 面積法測電容與時間常數

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

電容放電時電流不是恆定的，所以「Q = It」不能直接用；但電流對時間的積分（也就是 I–t 曲線下的面積）恰好等於放出的總電荷量。這是本實驗的第一根主線：Q = ∫I dt = C U₀。

第二根主線是把指數式拉直：放電電流 I(t) = (U₀/R) e^−t/τ，其中 τ = RC。兩邊取對數得 ln I = ln(U₀/R) − t/τ，作 ln I–t 圖應是直線，斜率 = −1/τ。半衰期 t½ = τ ln2 ≈ 0.693τ，也可由圖上電流降到一半的位置直接讀出。下面電阻、電容、電壓與讀數均為自編示意數據，全部經解析式回代驗證。

二、逐題精講

題1

題1 用 I–t 面積求電容（含解析驗算）

自編示意實驗：電容 C（待求）經電阻 R = 10.0 kΩ 放電，初始電壓 U₀ = 6.00 V。每隔 2.0 s 記錄電流如下：

(1) 說明為什麼 I–t 圖下的面積等於放出的電荷量；(2) 用梯形法估算 0–10 s 內的電荷量，並結合「10 s 後剩餘電荷」的解析補正求總電荷量 Q；(3) 由 Q = C U₀ 求 C。

解析

(2) 梯形法（Δt = 2.0 s，電流換成 A）：
Q₀₋₁₀ ≈ Δt·[ (I₀+I₅)/2 + I₁ + I₂ + I₃ + I₄ ]
= 2.0×[ (0.600+0.0715)/2 + 0.392 + 0.256 + 0.167 + 0.109 ] mA·s
= 2.0×[ 0.33575 + 0.924 ] = 2.0×1.25975 = 2.5195 mA·s = 2.52×10⁻³ C。

解析補正：由題2 將求得 τ = 4.70 s，I(t) = I₀ e^−t/τ，10 s 之後剩餘電荷 Q_餘 = ∫₁₀^∞ I₀ e^−t/τ dt = I₀ τ e^−10/τ。
代入 I₀ = 0.600 mA、τ = 4.70 s：I₀τ = 0.600×10⁻³×4.70 = 2.82×10⁻³ C，e^−10/4.70 = e^−2.128 ≈ 0.1191，故 Q_餘 ≈ 2.82×10⁻³×0.1191 ≈ 0.336×10⁻³ C。
總量 Q = 2.52×10⁻³ + 0.336×10⁻³ ≈ 2.86×10⁻³ C；與解析值 Q = I₀τ = 2.82×10⁻³ C 相差約 1.4%（梯形法對凸曲線的系統高估 + 截斷讀數誤差），在實驗誤差內一致。答題時寫出「梯形法會略高估、需補尾部或直接用 I₀τ」才是完整採分點。

(3) C = Q/U₀。用解析值：C = 2.82×10⁻³ / 6.00 = 4.70×10⁻⁴ F = 470 μF；用梯形補正值則為 ≈ 4.77×10⁻⁴ F，約 477 μF，兩者相差 1.4%。以解析式與 τ 反推的 470 μF 為準（本組數據正是按 C = 470 μF 自編生成的）。

答案　(1) q=∫I dt，面積為電荷量；(2) 梯形法 0–10 s 得 2.52×10⁻³ C，補尾部約 0.336×10⁻³ C，總 Q ≈ 2.86×10⁻³ C（解析值 2.82×10⁻³ C）；(3) C ≈ 470 μF。

採分點　寫出 q=∫I dt 與面積含義 2 分；梯形法公式與代值 2 分；0–10 s 數值 1 分；指出需補 10 s 後尾部 1 分；尾部解析式與數值 2 分；Q=CU₀ 得 C 1 分；說明梯形法高估與兩值差異 1 分；單位換算 1 分。

易錯點　直接用 Q = I₀×10 s 當總電荷（電流不是恆定的）；梯形法漏掉首末項取半；忘記補 10 s 之後的尾部就把 2.52 mC 當總電荷；mA·s 換 C 時漏 10⁻³；把 U₀ 當成放電末電壓；不說明梯形法對凸曲線會高估。

題2

題2 由 ln I–t 直線求 τ 並做半衰期校驗

(1) 由 I(t) = (U₀/R)e^−t/τ 推出 ln I 與 t 的線性關係，並說明斜率對應什麼；(2) 利用表中 t = 0 與 t = 4.0 s 兩點求 τ，再由 τ = RC 反求 C；(3) 求半衰期 t½，並從表中讀出電流降到 I₀/2 的時刻加以印證；(4) 說明電解電容漏電、電阻實際值偏差各使 C 的測量值偏大還是偏小。

解析

(2) I₀ = 0.600 mA，I(4.0) = 0.256 mA。
k = (ln0.256 − ln0.600)/4.0 = ln(0.256/0.600)/4.0 = ln(0.4267)/4.0 ≈ (−0.8511)/4.0 = −0.2128 s⁻¹。
τ = −1/k = 1/0.2128 ≈ 4.70 s。
由 τ = RC 得 C = τ/R = 4.70/(10.0×10³) = 4.70×10⁻⁴ F = 470 μF ✓ 與題1 解析值一致。

另一路（更省事）：注意到 τ = 4.70 s 時 e⁻¹ ≈ 0.368，I 應降到 0.600×0.368 = 0.221 mA；表中 4.0 s 處 0.256 mA、6.0 s 處 0.167 mA， interpolated 恰在 4.7 s 附近，與計算自洽。

(3) t½ = τ ln2 ≈ 4.70×0.693 = 3.26 s。此時 I = I₀/2 = 0.300 mA；表中 2.0 s 為 0.392 mA、4.0 s 為 0.256 mA，0.300 mA 落在兩者之間且靠近 3.3 s，與 3.26 s 吻合 ✓。解析回代：0.600·e^−3.26/4.70 = 0.600·e^−0.693 = 0.300 mA ✓。

(4) 誤差方向分兩句：
電解電容漏電：相當於在 C 兩端並聯一個漏電阻，放電比理想 RC 更快，實測 τ 偏小；若仍按 C = τ/R 計算，則 C 測偏小（同時 I–t 尾部不再嚴格指數，ln I–t 會向下彎）。
電阻標稱值與實際值偏差：若實際 R 大於標稱值（仍用標稱值代入 C = τ/R，分母偏小），則 C 測偏大；實際 R 偏小時反之，C 測偏小。要寫「按哪個值代入」才完整，不能只說「有誤差」。另可補充：電壓表內阻若並在電容兩端也會分流，效果與漏電同向（τ 偏小）。

答案　(1) ln I = ln I₀ − t/τ，斜率 k=−1/τ；(2) τ ≈ 4.70 s，C ≈ 470 μF；(3) t½ = τln2 ≈ 3.26 s，表中 0.300 mA 落在 2–4 s 間且吻合；(4) 漏電使 C 測偏小；R 實際偏大（仍用標稱值）使 C 測偏大，反之偏小。

採分點　對數線性化 2 分；斜率與 τ 關係 1 分；兩點求 k 1 分；τ 數值 1 分；C 數值與單位 1 分；t½ 公式與數值 1 分；表中印證 1 分；漏電誤差方向＋理由 2 分；R 偏差的雙向說明 2 分。

易錯點　把斜率直接當成 τ（應為 −1/τ）；用常用對數 lg 卻仍按 ln 的係數算；t½ 寫成 τ/ln2 或 2τ；誤差題只答「偏大」不說明「用標稱值代入」；把漏電說成使放電變慢（實際變快）。

三、規律小結與對照表

這一實驗的兩條路其實是同一件事的兩種讀法：看面積得 Q（積分視角），看斜率得 τ（對數視角），最後都匯到 C = Q/U₀ = τ/R。考場上用這兩式互相驗算，比反覆讀圖更可靠；梯形法別忘了補上截斷之後的尾部。本文電阻、電容、電壓與讀數均為自編示意數據，全部經解析式回代驗證，不代表真實器件參數。

四、自測清單

• 先寫 I=dq/dt，明確不能用 Q=It（電流非恆定）
• 梯形法首末項取半，並補上截斷時間之後的指數尾部
• 取對數用 ln（自然對數），斜率是 −1/τ 而不是 −τ
• 由 τ、R 求 C 時把 kΩ、μF 統一換成 Ω、F
• 用 Q=I₀τ=CU₀ 與 C=τ/R 兩路互驗，數值應一致
• 誤差題寫清「哪個量變了、仍按哪個值代入」，方向才不反