題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；不使用他人現成題目；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
例題精講 · 數學導數與解三角形
一、考點定位與做題順序
已知三邊求面積，可先用餘弦定理求夾角再算 S = (1/2)ab sinC，也可用海倫公式。 本講把兩條路並排回代，順便檢查半周長與根號內的乘積。二、逐題精講
題1
自編示意三角形三邊為 a = 5、b = 6、c = 7。求半周長 p、邊 c 所對角的餘弦值 cosC 與面積 S。解析
p = (5+6+7)/2 = 9。 由余弦定理 cosC = (a²+b²−c²)/(2ab) = (25+36−49)/60 = 0.2。 故 sinC = √(1−cos²C) = 0.979796，S = (1/2)ab sinC = 14.696938。答案 p = 9；cosC = 0.2；S = 14.696938。
採分點 半周長 2 分；餘弦定理 3 分；正弦換算 2 分；面積 3 分。
易錯點 把 c 當成夾角 C 的鄰邊去套餘弦定理，或漏開根號，都會破壞結果。
題2
用 (1/2)ab sinC 與海倫公式 √(p(p−a)(p−b)(p−c)) 兩條獨立路徑重算 S，並說明兩式為何一致。解析
路徑一：(1/2)×5×6×sinC = 14.696938。 路徑二：√(p(p−a)(p−b)(p−c)) = √(9×4×3×2) = √216 = 14.696938，與路徑一相同；半周長 p = 9。 兩路一致是因為海倫公式可由余弦定理與 sin²C+cos²C=1 代數化簡得到；邊長均為自編示意。 數值回代核驗（按題面原始參數逐項獨立重算，每項另以一條獨立路徑互驗）：半周長（三邊和之半）= 9；餘弦值（餘弦定理）= 0.2；正弦值（由平方關係開方）= 0.979796；面積（兩路面積）= 14.696938；海倫公式面積（海倫公式與夾角式）= 14.696938；根號內乘積（半周長四項積）= 216答案 兩路均為 14.696938；海倫根號內乘積為 216。
採分點 兩條路徑各 3 分；根號內乘積 2 分；一致性理由 2 分。
易錯點 把半周長 p 寫成周長，或把根號內的 p−a 寫成 a−p，會得負數或錯值。
三、規律小結與對照表
| 量 | 主路徑 | 獨立路徑 | 結果 |
|---|---|---|---|
| 半周長 | 三邊和除以 2 | 9 | 9 |
| 餘弦值 | 餘弦定理 | (25+36−49)/60 | 0.2 |
| 正弦值 | 由 1 減餘弦平方開方 | 由面積反解 | 0.979796 |
| 面積 | 兩邊夾角公式 | 海倫公式 | 14.696938 |
| 海倫根號內 | p(p−a)(p−b)(p−c) | 9×4×3×2 | 216 |
三邊求面積先定夾角，再讓兩路閉合；邊長均為自編示意，不對應任何真題數據。
四、自測清單
- 半周長是否為三邊和之半
- 餘弦定理分子是否為 a²+b²−c²
- 正弦是否由平方關係求得
- 兩路面積是否相等
- 海倫根號內是否四項相乘
- 是否避免把 p 當週長
- 結果是否代回餘弦定理閉合
- 是否註明示意邊長
五、數值回代明細
按題面原始參數逐項重算（構造時另以一條獨立路徑互驗一致）：半周長 = 9；餘弦值 = 0.2；正弦值 = 0.979796；面積 = 14.696938；海倫公式面積 = 14.696938；根號內乘積 = 216。以上數值與本篇解析、答案欄、規律表逐處對應，示意數據在正文另行註明。
六、選題邊界與相鄰板塊
本講只處理三邊已知的面積兩路互驗；正弦定理 SSA 兩解、外接圓半徑互驗、中線長與極化恆等式另屬相鄰板塊，不在此重複計數。
本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
