題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；不使用他人現成題目；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
例題精講 · 數學導數與解三角形
一、考點定位與做題順序
遇到「至少」先想補集：把總數減去「一個都不滿足」到「差一個滿足」的幾類。 本講把補集法與逐類直接枚舉並排回代，檢查兩條路給的是同一個數。二、逐題精講
題1
自編示意：某練習共 8 道判斷題，每道只有對、錯兩種結果。求「至少答對 6 道」的情形數，並求恰好答對 6 道的情形數。解析
總情形數 2 的 8 次方 = 256。 補集法：不足 6 道即答對 0 至 5 道，情形數為 219，故至少 6 道為 256 − 219 = 37。 直接枚舉：恰好 6、7、8 道分別為 28、8、1，合計 37。答案 至少 6 道 37 種；恰好 6 道 28 種。
採分點 總情形 2 分；補集求和 3 分；直接枚舉 3 分；兩路一致 2 分。
易錯點 把「至少 6 道」錯算成只含恰好 6 道，會漏掉 7 道與 8 道兩類。
題2
用補集法與直接枚舉兩條獨立路徑重算「至少答對 6 道」，並說明為何補集裡只減到 5 道。解析
路徑一：256 − 219 = 37。 路徑二：28 + 8 + 1 = 37，與路徑一相同。 補集減到 5 道，是因為「至少 6」的反面恰是「最多 5」；若減到 6 就把恰好 6 道也削掉了。 數值回代核驗（按題面原始參數逐項獨立重算，每項另以一條獨立路徑互驗）：總情形數（八道二結果練習的全部情形）= 256；補集情形數（答對 0 至 5 道之和）= 219；至少六道（總數減補集）= 37；恰好六道（八選六）= 28；恰好七道（八選七）= 8；兩路合計（直接枚舉與補集互驗）= 37答案 兩路均為 37 種；補集上界為 5 道。
採分點 兩條路徑各 3 分；補集邊界理由 2 分；回代閉合 2 分。
易錯點 把補集上界寫成 6，或在直接枚舉裡漏掉全對的一類，都會破壞閉合。
三、規律小結與對照表
| 量 | 主路徑 | 獨立路徑 | 結果 |
|---|---|---|---|
| 總情形 | 2 的 8 次方 | 逐次乘 2 | 256 |
| 補集 0 至 5 道 | 按二項係數求和 | 總數減 6 至 8 道 | 219 |
| 至少 6 道 | 總數減補集 | 逐類相加 | 37 |
| 恰好 6 道 | 組合數 | 逐類枚舉中的一類 | 28 |
| 恰好 7 道 | 組合數 | 恰 6 道乘比值 | 8 |
正難則反先寫清補集邊界，再讓兩路閉合；本講題數與判定方式均為自編示意，不對應任何真題數據。
四、自測清單
- 是否先求總情形數
- 補集上界是否為 5
- 直接枚舉是否含全對
- 兩路結果是否相等
- 組合數是否按無序計
- 是否避免把至少當恰好
- 結果是否代回 2 的 8 次方閉合
- 單位是否為種數
五、數值回代明細
按題面原始參數逐項重算（構造時另以一條獨立路徑互驗一致）：總情形數 = 256；補集情形數 = 219；至少六道 = 37；恰好六道 = 28；恰好七道 = 8；兩路合計 = 37。以上數值與本篇解析、答案欄、規律表逐處對應，示意數據在正文另行註明。
六、選題邊界與相鄰板塊
本講只處理二結果、固定題數的至少計數；分組分配、幾何概型、容斥原理與超幾何抽樣另屬相鄰板塊，不在此重複計數。
本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
