題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；不使用他人現成題目；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
例題精講 · 數學導數與解三角形
一、考點定位與做題順序
設切點橫座標為 t，切線方程既要過切點又要過定點，兩條件聯立才能定 t。 本講把「先寫切線再代定點」與「直接用兩點斜率」兩條路徑回代。二、逐題精講
題1
自編示意曲線 y = x³ − 3x² + 4x，求過原點 O(0,0) 的切線切點橫座標 t 與切線斜率 k。解析
設切點 (t, t³−3t²+4t)，導數 y′ = 3x²−6x+4，故 k = 3t²−6t+4。 切線過原點要求 (t³−3t²+4t)/t = k（t 不為 0），即 t²−3t+4 = 3t²−6t+4，化簡得 2t²−3t = 0，故 t = 1.5（舍 t = 0 的退化情形另議）。 代回得 k = 1.75。答案 t = 1.5；k = 1.75；切線 y = 1.75x。
採分點 設切點 2 分；導數 2 分；過原點條件 3 分；解方程與驗根 3 分。
易錯點 把「過原點」當成「在原點處相切」，會把 t 直接取 0 而漏掉真正的切點。
題2
用「切線方程代定點」與「兩點斜率等於導數」兩條獨立路徑重算 t，並說明 t = 0 為何要單列。解析
路徑一：由切線 y − f(t) = f′(t)(x − t) 代 (0,0) 得 f(t) = t f′(t)，化簡得 2t²−3t = 0，非零根 t = 1.5。 路徑二：兩點斜率 f(t)/t 應等於 f′(t)，即 1.75 = 1.75 在 t = 1.5 處成立。 t = 0 時曲線本身過原點，此時是「在原點處的切線」而非「過原點的另一條切線」，兩種問法要分開；係數均為自編示意。 數值回代核驗（按題面原始參數逐項獨立重算，每項另以一條獨立路徑互驗）：切點橫座標（解 2t²−3t=0 的非零根）= 1.5；切線斜率（導數與兩點斜率兩路）= 1.75；兩點斜率（曲線點除橫座標）= 1.75；函數值（f(t) 與 t 乘斜率）= 2.625；原點處導數（曲線在原點處的切線斜率）= 4；判別式（方程 2t²−3t=0 的判別式）= 9答案 兩路均得 t = 1.5、k = 1.75；t = 0 為曲線自身過點情形。
採分點 兩條路徑各 3 分；退化根說明 2 分；回代閉合 2 分。
易錯點 把 f(t)/t 寫成 f′(t)/t，或漏掉 t = 0 的單獨討論，都會漏解。
三、規律小結與對照表
| 量 | 主路徑 | 獨立路徑 | 結果 |
|---|---|---|---|
| 切點橫座標 | 解 2t²−3t=0 | 由 f(t)=t f′(t) 反解 | 1.5 |
| 切線斜率 | 3t²−6t+4 在 t 處 | f(t)/t 在 t 處 | 1.75 |
| 兩點斜率 | f(t)/t | t²−3t+4 | 1.75 |
| 導數表達式 | 3t²−6t+4 | 對 x³−3x²+4x 求導 | 3t²−6t+4 |
| 原點處導數 | y′(0) | 4 | 4 |
切線過定點先設切點 t，再讓兩路閉合；係數均為自編示意，不對應任何真題數據。
四、自測清單
- 是否設切點而非直接代原點
- 導數是否正確
- 過定點條件是否為 f(t)=t f′(t)
- 兩路 t 是否相等
- 是否討論 t=0 退化根
- 斜率是否代回導數
- 是否避免把過點與在點混淆
- 是否註明示意係數
五、數值回代明細
按題面原始參數逐項重算（構造時另以一條獨立路徑互驗一致）：切點橫座標 = 1.5；切線斜率 = 1.75；兩點斜率 = 1.75；函數值 = 2.625；原點處導數 = 4；判別式 = 9。以上數值與本篇解析、答案欄、規律表逐處對應，示意數據在正文另行註明。
六、選題邊界與相鄰板塊
本講只處理三次函數的切線過定點；隱零點、極值點偏移、構造函數餘項與含參二次函數區間最值另屬相鄰板塊，不在此重複計數。
本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
