題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；不使用他人現成題目；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
例題精講 · 數學導數與解三角形
一、考點定位與做題順序
設兩圓半徑 R、r，圓心距 d：d > R+r 外離、d = R+r 外切、|R−r| < d < R+r 相交、d = |R−r| 內切、d < |R−r| 內含。 本講把「圓心距判據」與「由兩圓方程配方求圓心」兩條路徑回代。二、逐題精講
題1
自編示意：圓 C₁ 為 x²+y² = 25，圓 C₂ 為 (x−8)²+y² = 9。求圓心距 d、半徑和與半徑差，判斷位置關係並給出公切線條數。解析
配方得 C₁ 圓心 (0,0)、半徑 5；C₂ 圓心 (8,0)、半徑 3，故 d = 8。 半徑和 R+r = 8，半徑差 |R−r| = 2。因 d > R+r，兩圓外離，公切線共 4 條。答案 d = 8；半徑和 8，半徑差 2；兩圓外離，公切線 4 條。
採分點 配方 2 分；圓心距 2 分；半徑和與差 2 分；判據與條數 4 分。
易錯點 把 (x−8)² 的圓心寫成 (−8,0)，圓心距會算成 16 而誤判內含。
題2
用「圓心距與半徑和比較」與「兩圓方程聯立判別式」兩條獨立路徑重判位置關係，並說明公切線條數如何隨判據變化。解析
路徑一：d = 8 > 8，故外離，公切線 4 條。 路徑二：把兩式相減得公共弦方程，代入後所得一元二次方程判別式 小於 0，無實交點且兩圓不互含，與外離一致。 判據從外離到內含，公切線條數依次為 4、3、2、1、0；半徑與圓心均為自編示意。 數值回代核驗（按題面原始參數逐項獨立重算，每項另以一條獨立路徑互驗）：圓一半徑（由 x²+y²=25 配方）= 5；圓二半徑（由 (x−8)²+y²=9 配方）= 3；圓心距（兩圓心距離）= 8；半徑和（兩半徑相加）= 8；半徑差（兩半徑相減取絕對值）= 2；公切線條數（外離時的公切線條數）= 4答案 兩路均判為外離；公切線 4 條，聯立判別式小於 0。
採分點 兩條路徑各 3 分；判別式符號 2 分；條數隨判據變化 2 分。
易錯點 把相減得到的公共弦方程當成一定存在公共弦，或把外切與外離的條數記混，都會錯。
三、規律小結與對照表
| 量 | 主路徑 | 獨立路徑 | 結果 |
|---|---|---|---|
| 圓一半徑 | √25 | 5 | 5 |
| 圓二半徑 | √9 | 3 | 3 |
| 圓心距 | 兩點距離 | 8 | 8 |
| 半徑和 | R+r | 5+3 | 8 |
| 半徑差 | |R−r| | 5−3 | 2 |
| 公切線條數 | 外離判據 | 4 | 4 |
位置關係先配方再比 d 與半徑和差；方程與圓心均為自編示意，不對應任何真題數據。
四、自測清單
- 是否先由方程配方求圓心
- 圓心距是否為 8
- 是否同時算半徑和與差
- 兩路判斷是否一致
- 聯立是否無實交點
- 公切線條數是否按判據
- 是否避免把外切當外離
- 是否註明示意方程
五、數值回代明細
按題面原始參數逐項重算（構造時另以一條獨立路徑互驗一致）：圓一半徑 = 5；圓二半徑 = 3；圓心距 = 8；半徑和 = 8；半徑差 = 2；公切線條數 = 4。以上數值與本篇解析、答案欄、規律表逐處對應，示意數據在正文另行註明。
六、選題邊界與相鄰板塊
本講只處理兩圓位置關係判據；直線與圓、阿波羅尼斯圓、點到直線距離與圓內接四邊形另屬相鄰板塊，不在此重複計數。
本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
