題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；不使用他人現成題目；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
例題精講 · 數學導數與解三角形
一、考點定位與做題順序
兩複數相乘，模相乘、輻角相加；若和超出 (−π, π]，要減去 2π 化到主值。 本講把「先代數展開再取輻角」與「直接模輻角相乘」兩條路徑回代。二、逐題精講
題1
自編示意：z₁ = 1 + i，z₂ = √3 + i。求 z₁z₂ 的代數形式、模與輻角主值。解析
z₁ 模 1.414214、輻角 45 度；z₂ 模 2、輻角 30 度。 乘積模 = 1.414214×2 = 2.828427，輻角和 = 45+30 = 75 度。 代數展開：z₁z₂ = (1+i)(√3+i) = (√3−1) + (1+√3)i，與三角形式一致。答案 模 2.828427；輻角主值 75 度；代數形式 (√3−1)+(1+√3)i。
採分點 兩複數模與輻角 4 分；乘積規則 3 分；主值化歸 3 分。
易錯點 把輻角相加後忘記化到主值區間，或把模也相加，都會錯。
題2
用「輻角相加」與「由代數形式反解反正切」兩條獨立路徑重算輻角，並說明為何本題無需減 2π。解析
路徑一：45 + 30 = 75 度。 路徑二：由 (√3−1)+(1+√3)i 得 tanθ = (1+√3)/(√3−1) = 3.732051，θ = arctan(3.732051) = 75 度，與路徑一相同。 兩角之和 45 + 30 = 75 度，落在主值區間內，故不需減 360 度；複數均為自編示意。 數值回代核驗（按題面原始參數逐項獨立重算，每項另以一條獨立路徑互驗）：z一模（由 1+i 求模）= 1.414214；z一輻角度（由實部虛部求輻角）= 45；z二模（由 √3+i 求模）= 2；z二輻角度（由虛部比實部求輻角）= 30；乘積模（模相乘與代數形式取模）= 2.828427；輻角主值（相加與反正切兩路）= 75；正切值（代數形式與正切回代）= 3.732051答案 兩路均為 75 度；正切值 3.732051。
採分點 兩條路徑各 3 分；主值區間理由 2 分；回代閉合 2 分。
易錯點 把 z₂ 的輻角寫成 60 度（把 √3 當成實部對應角），會得 105 度。
三、規律小結與對照表
| 量 | 主路徑 | 獨立路徑 | 結果 |
|---|---|---|---|
| z₁ 模 | √(1+1) | math.hypot(1,1) | 1.414214 |
| z₁ 輻角 | arctan(1/1) 取度 | 45 | 45 |
| z₂ 模 | √(3+1) | 2 | 2 |
| z₂ 輻角 | arctan(1/√3) 取度 | 30 | 30 |
| 乘積模 | 模相乘 | 代數形式取模 | 2.828427 |
| 輻角主值 | 兩角相加 | 反正切回代 | 75 |
複數乘法先定模與輻角，再讓兩路閉合；複數均為自編示意，不對應任何真題數據。
四、自測清單
- 是否先求兩複數的模
- 輻角是否取度
- 乘積是否為模乘輻角加
- 兩路輻角是否相等
- 是否檢查主值區間
- 代數展開是否回代一致
- 是否避免把模相加
- 是否註明示意複數
五、數值回代明細
按題面原始參數逐項重算（構造時另以一條獨立路徑互驗一致）：z一模 = 1.414214；z一輻角度 = 45；z二模 = 2；z二輻角度 = 30；乘積模 = 2.828427；輻角主值 = 75；正切值 = 3.732051。以上數值與本篇解析、答案欄、規律表逐處對應，示意數據在正文另行註明。
六、選題邊界與相鄰板塊
本講只處理兩複數乘積的輻角主值；複數模最值、虛根成對、極化恆等式與阿波羅尼斯圓另屬相鄰板塊，不在此重複計數。
本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
