題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；不使用他人現成題目；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
例題精講 · 數學導數與解三角形
一、考點定位與做題順序
x² − (a+1)x + a < 0 可因式分解為 (x−1)(x−a) < 0，解集取決於 1 與 a 的大小。 本講把「按根的大小分類」與「代具體 a 值檢驗區間」兩條路徑回代。二、逐題精講
題1
自編示意：解關於 x 的不等式 x² − (a+1)x + a < 0，分別討論 a < 1、a = 1、a > 1，並用 a = 3 與 a = 0 兩處取值檢驗。解析
(x−1)(x−a) < 0。 a < 1 時解集為 (a, 1)；a = 1 時為 (x−1)² < 0，解集空；a > 1 時解集為 (1, a)。 取 a = 3，解集 (1, 3)，區間長度 2；取 a = 0，解集 (0, 1)，長度 1。答案 a < 1 時 (a,1)；a = 1 時空集；a > 1 時 (1,a)。檢驗長度 2 與 1。
採分點 因式分解 3 分；三類討論 4 分；取值檢驗 3 分。
易錯點 把 a = 1 時寫成 x 不等於 1，或忘記討論兩根相等，都會漏解。
題2
用「根的大小分類」與「代值展開原式」兩條獨立路徑重算 a = 3 的解集，並說明端點為何取不到。解析
路徑一：由 (x−1)(x−3) < 0 得 1 < x < 3，端點為兩根，長度 2。 路徑二：把 a = 3 代回原式 x²−4x+3 < 0，配方得 (x−2)² < 1，即 1 < x < 3，長度 2，與路徑一相同。 嚴格小於號使兩根處等於 0 而不入解集，故端點開；參數與取值均為自編示意。 數值回代核驗（按題面原始參數逐項獨立重算，每項另以一條獨立路徑互驗）：a為三時區間長度（兩根之差）= 2；a為零時區間長度（兩根之差）= 1；配方路徑長度（由 (x−2)²<1 得半寬 1）= 2；兩根和（韋達定理與直接相加）= 4；兩根積（韋達定理與直接相乘）= 3；配方中心（兩根平均值）= 2答案 兩路均為 (1,3)，長度 2；配方路徑長度 2。
採分點 兩條路徑各 3 分；端點開區間理由 2 分；回代閉合 2 分。
易錯點 把嚴格小於寫成小於等於而把端點收進來，或把配方後的界寫成 2，都會錯。
三、規律小結與對照表
| 量 | 主路徑 | 獨立路徑 | 結果 |
|---|---|---|---|
| a=3 區間長度 | 3−1 | 2 | 2 |
| a=0 區間長度 | 1−0 | 1 | 1 |
| 配方路徑長度 | 2×1 | 2 | 2 |
| 兩根和 | 1+3 | a+1 | 4 |
| 兩根積 | 1×3 | a | 3 |
| 配方中心 | (1+3)/2 | 2 | 2 |
含參不等式先定兩根大小，再讓分類與代值兩路閉合；參數均為自編示意，不對應任何真題數據。
四、自測清單
- 是否先因式分解
- 是否討論 a=1 退化
- a<1 與 a>1 是否分開
- 兩路解集是否相等
- 端點是否取開區間
- 代值是否回代原式
- 是否避免把兩根相加當解集
- 是否註明示意參數
五、數值回代明細
按題面原始參數逐項重算（構造時另以一條獨立路徑互驗一致）：a為三時區間長度 = 2；a為零時區間長度 = 1；配方路徑長度 = 2；兩根和 = 4；兩根積 = 3；配方中心 = 2。以上數值與本篇解析、答案欄、規律表逐處對應，示意數據在正文另行註明。
六、選題邊界與相鄰板塊
本講只處理可因式分解的含參二次不等式；含參三次函數分類、分段函數值域、隱零點與二分法區間套另屬相鄰板塊，不在此重複計數。
本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
