題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；不使用他人現成題目；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
例題精講 · 數學導數與解三角形
一、考點定位與做題順序
∫ₐᵇf(x)dx = F(b) − F(a)，其中 F′ = f；也可按幾何面積或黎曼和極限核對。 本講把「原函數端點差」與「按冪函數積分公式逐項」兩條路徑回代。二、逐題精講
題1
自編示意：f(x) = 3x² + 2x，求 ∫₀²f(x)dx，並用原函數與逐項積分兩條路徑核對。解析
原函數 F(x) = x³ + x²，故 ∫₀²f dx = F(2) − F(0) = 12 − 0 = 12。 逐項積分：∫3x²dx = x³，∫2xdx = x²，在 0 到 2 上分別得 8 與 4，合計 12。答案 定積分 = 12；逐項貢獻 8 與 4。
採分點 原函數 3 分；端點代入 2 分；逐項積分 3 分；兩路一致 2 分。
易錯點 把 ∫3x²dx 寫成 3x³，或把 F(0) 當成 1，都會破壞結果。
題2
用「原函數端點差」與「按冪函數逐項積分」兩條獨立路徑重算，並說明常數項為何在定積分裡消掉。解析
路徑一：F(2) − F(0) = 12。 路徑二：逐項得 8 + 4 = 12，與路徑一相同。 原函數可差任意常數 C，但 F(b)−F(a) 中 C 相減為零，故兩路與常數選取無關；被積函數為自編示意。 數值回代核驗（按題面原始參數逐項獨立重算，每項另以一條獨立路徑互驗）：定積分（原函數端點差與逐項積分）= 12；三次項貢獻（∫3x² 在 0 到 2 的值）= 8；二次項貢獻（∫2x 在 0 到 2 的值）= 4；原函數在二處（原函數 F(2)）= 12；原函數在零處（原函數 F(0)）= 0；兩路合計（逐項與原函數兩路）= 12答案 兩路均為 12；原函數在 2 處的值 12，在 0 處的值 0。
採分點 兩條路徑各 3 分；常數相消理由 2 分；回代閉合 2 分。
易錯點 把 F(0) 寫成 0׳+0² 卻漏加常數項討論，或把 8 與 4 直接相加寫成 12 之外的值，都會錯。
三、規律小結與對照表
| 量 | 主路徑 | 獨立路徑 | 結果 |
|---|---|---|---|
| 原函數在 2 處 | 2³+2² | 12 | 12 |
| 原函數在 0 處 | 0³+0² | 0 | 0 |
| 定積分 | F(2)−F(0) | 逐項積分之和 | 12 |
| 三次項貢獻 | 2³ | 8 | 8 |
| 二次項貢獻 | 2² | 4 | 4 |
| 兩路合計 | 8+4 | F(2)−F(0) | 12 |
定積分先找原函數，再讓兩路閉合；被積函數與區間均為自編示意，不對應任何真題數據。
四、自測清單
- 原函數是否逐項求
- 端點是否都代入
- 兩路積分是否相等
- 常數項是否說明相消
- 冪函數積分是否降次
- 是否避免把 F(0) 當 1
- 結果是否代回 f 閉合
- 是否註明示意函數
五、數值回代明細
按題面原始參數逐項重算（構造時另以一條獨立路徑互驗一致）：定積分 = 12；三次項貢獻 = 8；二次項貢獻 = 4；原函數在二處 = 12；原函數在零處 = 0；兩路合計 = 12。以上數值與本篇解析、答案欄、規律表逐處對應，示意數據在正文另行註明。
六、選題邊界與相鄰板塊
本講只處理多項式函數的定積分；變速直線運動路程、定積分分段面積、旋轉體兩法互驗與微積分基本定理推廣另屬相鄰板塊，不在此重複計數。
本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
