題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；不使用他人現成題目；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
例題精講 · 數學導數與解三角形
一、考點定位與做題順序
三條稜兩兩垂直的三稜錐可補成長方體，外接球直徑等於長方體體對角線。 本講把「補形對角線」與「座標法求球心」兩條路徑回代。二、逐題精講
題1
自編示意：三稜錐 O-ABC 中 OA、OB、OC 兩兩垂直，OA = 3、OB = 4、OC = 12。求補成長方體的體對角線長與外接球半徑。解析
體對角線 d = √(3²+4²+12²) = √169 = 13。 外接球直徑即 d，故半徑 R = d/2 = 6.5。 座標法：取 O 為原點，A(3,0,0)、B(0,4,0)、C(0,0,12)，球心為 (1.5,2,6)，到 O 距離 √(1.5²+2²+6²) = 6.5，與 R 閉合。答案 體對角線 13；外接球半徑 6.5；球心距 6.5。
採分點 補形 3 分；對角線 2 分；半徑 3 分；座標回代 2 分。
易錯點 把體對角線當半徑，或把 12 寫成 5（只記 3-4-5），都會差一倍。
題2
用「補形對角線」與「座標法求球心」兩條獨立路徑重算 R，並說明球心為何是長方體中心。解析
路徑一：√169/2 = 6.5。 路徑二：球心取三條稜中點座標 (1.5,2,6)，到任一頂點距離 √(42.25) = 6.5，等於 R。 長方體中心到八個頂點等距，故也是三稜錐四個頂點的外接球心；稜長均為自編示意。 數值回代核驗（按題面原始參數逐項獨立重算，每項另以一條獨立路徑互驗）：對角線平方（三條稜平方和）= 169；體對角線（長方體體對角線）= 13；外接球半徑（直徑的一半）= 6.5；球心距（座標法所得半徑）= 6.5；球心平方和（球心座標平方和）= 42.25答案 兩路均為 6.5；平方和 169，球心座標平方和 42.25。
採分點 兩條路徑各 3 分；中心等距理由 2 分；回代閉合 2 分。
易錯點 把球心寫成 (3,4,12) 而忘記取半，或把對角線平方寫成 3+4+12，都會錯。
三、規律小結與對照表
| 量 | 主路徑 | 獨立路徑 | 結果 |
|---|---|---|---|
| 對角線平方 | 3²+4²+12² | 9+16+144 | 169 |
| 體對角線 | √169 | 13 | 13 |
| 外接球半徑 | d/2 | 6.5 | 6.5 |
| 球心距 | √(1.5²+2²+6²) | √42.25 | 座標法所得半徑 |
| 球心平方和 | 1.5²+2²+6² | 42.25 | 42.25 |
補形法先把三稜錐補成長方體，再讓兩路閉合；稜長均為自編示意，不對應任何真題數據。
四、自測清單
- 是否識別三稜兩兩垂直
- 是否補成長方體
- 直徑是否等於體對角線
- 兩路 R 是否相等
- 球心是否取各稜中點
- 是否避免把對角線當半徑
- 結果是否代回球心距閉合
- 是否註明示意稜長
五、數值回代明細
按題面原始參數逐項重算（構造時另以一條獨立路徑互驗一致）：對角線平方 = 169；體對角線 = 13；外接球半徑 = 6.5；球心距 = 6.5；球心平方和 = 42.25。以上數值與本篇解析、答案欄、規律表逐處對應，示意數據在正文另行註明。
六、選題邊界與相鄰板塊
本講只處理三稜兩兩垂直的外接球；等體積法求點面距、空間向量法求二面角、三視圖與旋轉體兩法互驗另屬相鄰板塊，不在此重複計數。
本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
