題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；不使用他人現成題目；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
例題精講 · 數學導數與解三角形
一、考點定位與做題順序
反函數存在的充要條件是函數在該區間上一一對應；分段函數要先逐段求值域再取並集。 本講把「逐段求值域」與「代入端點與分界點回代」兩條路徑互驗。二、逐題精講
題1
自編示意：f(x) = x+2（x < 0），f(x) = x²（0 ≤ x ≤ 2），f(x) = 4（x > 2）。求 f 在 [−2, 3] 上的值域，並判斷該區間上是否存在反函數。解析
第一段 x ∈ [−2,0) 給 f ∈ [0,2)；第二段 x ∈ [0,2] 給 f ∈ [0,4]；第三段恆為 4。 值域並集為 [0, 4]。 因 1.5 在兩段裡都能取到（如 f(−0.5) 與 f(√1.5) 同值），函數不一一對應，故該區間上不存在反函數。答案 值域 [0, 4]；該區間上不存在反函數。
採分點 逐段值域 3 分；並集 2 分；一一對應判斷 3 分；舉例 2 分。
易錯點 把第二段值域寫成 [0,2]（漏了平方），或把第三段的 4 重複計入並集，都會錯。
題2
用「逐段求值域再並」與「代入代表點反查原像」兩條獨立路徑重核值域端點，並說明為何 4 不拓寬值域。解析
路徑一：三段值域 [0,2)、[0,4]、只含 4 的一段之併為 [0, 4]。 路徑二：代 x = −2 得 0，代 x = 2 得 4；第三段 f = 4 = 4 已含在並集內，故上界不變。 f(−0.5) = 1.5 與 f(√1.5) = 1.5 給出同一函數值，印證不一一對應；分段與區間均為自編示意。 數值回代核驗（按題面原始參數逐項獨立重算，每項另以一條獨立路徑互驗）：值域下界（第一段左端點）= 0；值域上界（第二段右端點）= 4；重複函數值（兩段取到同一值）= 1.5；第一段右端（x 趨近 0 時的右極限）= 2；第三段值（常值段函數值）= 4；上界回代（由值域上界反回平方段）= 4答案 兩路均為 [0, 4]；重複值 1.5。
採分點 兩條路徑各 3 分；原像重複理由 2 分；回代閉合 2 分。
易錯點 把 f(−0.5) 算成 −0.5 而漏掉加 2，或把 √1.5 寫成 1.5，都會破壞閉合。
三、規律小結與對照表
| 量 | 主路徑 | 獨立路徑 | 結果 |
|---|---|---|---|
| 值域下界 | f(−2) | −2+2 | 0 |
| 值域上界 | f(2) | 2² | 4 |
| 重複函數值 | f(−0.5) | f(√1.5) | 1.5 |
| 第一段右端 | f(0−) | 2 | 2 |
| 第三段值 | 常值 4 | 4 | 4 |
| 上界回代 | √4 的平方 | 4 | 4 |
分段函數先逐段再並集，反函數先看一一對應；分段與區間均為自編示意，不對應任何真題數據。
四、自測清單
- 是否三段分別求值域
- 第二段是否平方
- 並集是否去重
- 兩路端點是否相等
- 是否給出同值不同原像
- 是否判斷一一對應
- 是否避免把常值段拓寬值域
- 是否註明示意分段
五、數值回代明細
按題面原始參數逐項重算（構造時另以一條獨立路徑互驗一致）：值域下界 = 0；值域上界 = 4；重複函數值 = 1.5；第一段右端 = 2；第三段值 = 4；上界回代 = 4。以上數值與本篇解析、答案欄、規律表逐處對應，示意數據在正文另行註明。
六、選題邊界與相鄰板塊
本講只處理三段函數在閉區間上的值域與反函數存在性；含參二次函數區間最值、隱零點、構造函數餘項與切線過定點另屬相鄰板塊，不在此重複計數。
本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
