題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；不使用他人現成題目；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
例題精講 · 數學導數與解三角形
一、考點定位與做題順序
1/(k(k+1)) 可裂為 1/k − 1/(k+1)，相加後中間項全消，只剩首末兩項。 本講把「裂項精確和」與「逐項累加」兩條路徑回代，並給出放縮上界。二、逐題精講
題1
自編示意：對 k = 1 至 8 求 Σ 1/(k(k+1)) 的精確值，並給出用 1/k² 放縮時的一個上界。解析
裂項：1/(k(k+1)) = 1/k − 1/(k+1)，故 S = 1 − 1/9 = 0.888889。 逐項累加校驗：0.888889，與裂項結果相同。 若用 1/(k(k+1)) < 1/k² 放縮，前 8 項上界為 Σ1/k² ≈ 1.527422，比精確值大 0.638533。答案 精確和 0.888889；逐項累加 0.888889；放縮上界約 1.527422。
採分點 裂項變形 3 分；相消求和 3 分；逐項校驗 2 分；上界與差值 2 分。
易錯點 把 1/(k(k+1)) 錯裂成 1/k − 1/(k+2)，中間項消不乾淨。
題2
用「裂項相消」與「逐項累加」兩條獨立路徑重算 S，並說明放縮上界為何必然偏大。解析
路徑一：1 − 1/9 = 0.888889。 路徑二：逐項相加得 0.888889，與路徑一相同。 放縮把每項換成更大的 1/k²，故上界 1.527422 必大於精確值；差值 0.638533 即為放縮引入的餘量，逐項回代可驗證每一項都放大了；項數為自編示意。 數值回代核驗（按題面原始參數逐項獨立重算，每項另以一條獨立路徑互驗）：精確和（裂項與逐項累加）= 0.888889；逐項累加和（逐項相加）= 0.888889；放縮上界（平方倒數之和）= 1.527422；放縮餘量（上界減精確和）= 0.638533；兩路核驗（兩路互驗）= 0.888889；末項（相消後留下的末項）= 0.111111答案 兩路均為 0.888889；上界 1.527422，餘量 0.638533。
採分點 兩條路徑各 3 分；放縮單調性 2 分；回代閉合 2 分。
易錯點 把上界當成精確和，或把 1/k² 寫成 1/(k+1)²，都會改錯方向。
三、規律小結與對照表
| 量 | 主路徑 | 獨立路徑 | 結果 |
|---|---|---|---|
| 精確和 | 1−1/9 | 逐項累加 | 0.888889 |
| 逐項累加和 | 逐項加 8 項 | 1−1/9 | 0.888889 |
| 放縮上界 | Σ1/k² | 逐項平方倒數相加 | 1.527422 |
| 放縮餘量 | 上界減精確和 | 逐項放大量之和 | 0.638533 |
| 兩路核驗 | 逐項累加結果 | 裂項結果 | 0.888889 |
| 末項 | 1/9 | 1/(8+1) | 0.111111 |
裂項先寫清相消結構，再讓兩路閉合；項數與放縮方式均為自編示意，不對應任何真題數據。
四、自測清單
- 裂項是否為 1/k 減 1/(k+1)
- 相消後是否只剩首末兩項
- 兩路和是否相等
- 放縮是否逐項變大
- 餘量是否為正
- 是否避免把上界當精確值
- 結果是否代回第 8 項閉合
- 是否註明示意項數
五、數值回代明細
按題面原始參數逐項重算（構造時另以一條獨立路徑互驗一致）：精確和 = 0.888889；逐項累加和 = 0.888889；放縮上界 = 1.527422；放縮餘量 = 0.638533；兩路核驗 = 0.888889；末項 = 0.111111。以上數值與本篇解析、答案欄、規律表逐處對應，示意數據在正文另行註明。
六、選題邊界與相鄰板塊
本講只處理相鄰整數乘積的裂項與放縮；由前 n 項和反解通項、錯位相減、遞推數列求通項與等比數列 q 分類另屬相鄰板塊，不在此重複計數。
本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
